Sisältö

• Askeleet
• Osa 1/2: Perusteet
• Osa 2/2: Laajennettu matriisimuunnos SLAE -ratkaisujen ratkaisemiseksi
• Vinkkejä

Yhtälöjärjestelmä on kahden tai useamman yhtälön joukko, joilla on yhteinen tuntematon joukko ja siten yhteinen ratkaisu. Lineaaristen yhtälöiden järjestelmän kuvaaja on kaksi suoraa ja järjestelmän ratkaisu on näiden suorien leikkauspiste. Tällaisten lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi on hyödyllistä ja kätevää käyttää matriiseja.

Askeleet

Osa 1/2: Perusteet

1. 1 Terminologia. Lineaariset yhtälöjärjestelmät koostuvat eri komponenteista. Muuttuja on merkitty aakkosmerkillä (yleensä x tai y) ja tarkoittaa numeroa, jota et vielä tiedä ja joka on löydettävä. Vakio on tietty luku, joka ei muuta sen arvoa.Kerroin on muuttujan edessä oleva luku, eli luku, jolla muuttuja kerrotaan.
   • Esimerkiksi lineaariselle yhtälölle 2x + 4y = 8, x ja y ovat muuttujia, 8 on vakio ja luvut 2 ja 4 ovat kertoimia.
2. 2 Lineaaristen yhtälöiden järjestelmän lomake. Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä (SLAE), jossa on kaksi muuttujaa, voidaan kirjoittaa seuraavasti: ax + by = p, cx + dy = q. Mikä tahansa vakio (p, q) voi olla nolla, mutta jokaisen yhtälön on sisällettävä vähintään yksi muuttuja (x, y).
3. 3 Matriisilausekkeet. Mikä tahansa SLAE voidaan kirjoittaa matriisimuodossa ja ratkaista se sitten matriisien algebrallisten ominaisuuksien avulla. Kun kirjoitetaan yhtälöjärjestelmää matriisimuodossa, A edustaa matriisin kertoimia, C edustaa vakiomatriiseja ja X tarkoittaa tuntematonta matriisia.
   • Esimerkiksi yllä oleva SLAE voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavassa matriisimuodossa: A x X = C.
4. 4 Laajennettu matriisi. Laajennettu matriisi saadaan siirtämällä vapaiden ehtojen (vakioiden) matriisi vasemmalle puolelle. Jos sinulla on kaksi matriisia, A ja C, laajennettu matriisi näyttää tältä:
   • Esimerkiksi seuraava lineaarinen yhtälöjärjestelmä:
     2x + 4v = 8
     x + y = 2
     Laajennettu matriisi on 2x3 ja näyttää tältä:

Osa 2/2: Laajennettu matriisimuunnos SLAE -ratkaisujen ratkaisemiseksi

1. 1 Perustoiminnot. Voit suorittaa tiettyjä toimintoja matriisilla, jolloin saat matriisin, joka vastaa alkuperäistä matriisia. Tällaisia ​​toimintoja kutsutaan alkeellisiksi. Esimerkiksi 2x3 -matriisin ratkaisemiseksi sinun on suoritettava rivitoiminnot, jotta matriisi saadaan kolmion muotoon. Tällaisia ​​toimintoja voivat olla:
   • kahden rivin permutaatio.
   • jonon kertominen nollasta poikkeavalla numerolla.
   • kertomalla merkkijono ja lisäämällä se toiseen.
2. 2 Toisen rivin kertominen nollasta poikkeavalla numerolla. Jos haluat nollaa toiselle riville, voit kertoa rivin sen mahdollistamiseksi.
   • Jos sinulla on esimerkiksi tällainen matriisi:
     
     
     Voit pitää ensimmäisen rivin ja käyttää sitä saadaksesi nolla toisella rivillä. Tätä varten sinun on ensin kerrottava toinen rivi kahdella:
3. 3 Kerro uudelleen. Jos haluat saada nolla ensimmäiselle riville, sinun on ehkä kerrottava uudelleen käyttämällä vastaavia manipulaatioita.
   • Yllä olevassa esimerkissä sinun on kerrottava toinen rivi -1:
     
     
     Kerroksen jälkeen matriisi näyttää tältä:
4. 4 Lisää ensimmäinen rivi toiseen. Lisää rivit saadaksesi nolla ensimmäisen sarakkeen ja toisen rivin tilalle.
   • Esimerkissämme lisää molemmat rivit saadaksesi seuraavat:
5. 5 Kirjoita uusi lineaarinen yhtälöjärjestelmä kolmiomaiselle matriisille. Kun sinulla on kolmionmuotoinen matriisi, voit palata SLAE: hen. Matriisin ensimmäinen sarake vastaa tuntematonta muuttujaa x ja toinen vastaa tuntematonta muuttujaa y. Kolmas sarake vastaa yhtälön leikkausta.
   • Esimerkissämme uusi lineaarinen yhtälöjärjestelmä on muotoa:
6. 6 Ratkaise yhtä muuttujan yhtälö. Määritä uudessa SLAE: ssä, mikä muuttuja on helpoin löytää ja ratkaista yhtälö.
   • Esimerkissämme on helpompi ratkaista lopusta, eli viimeisestä yhtälöstä ensimmäiseen, siirtymällä alhaalta ylöspäin. Toisesta yhtälöstä voimme helposti löytää ratkaisun y: lle, koska pääsimme eroon x: stä, joten y = 2.
7. 7 Etsi toinen tuntematon korvausmenetelmällä. Kun olet löytänyt yhden muuttujista, voit liittää sen toiseen yhtälöön löytääksesi toisen muuttujan.
   • Esimerkissämme vain korvaa y 2: lla ensimmäisessä yhtälössä löytääksesi tuntematon x:

Vinkkejä

• Matriisielementtejä kutsutaan yleisesti skalaareiksi.
• 2x3 -matriisin ratkaisemiseksi sinun on suoritettava alkeisrivitoiminnot. Et voi suorittaa näitä toimintoja sarakkeissa.