Kuinka jakaa matriisit

Video: Minecraft Survival: Tehokas Enderman farmi! #16

Sisältö

Lyhyt yhteenveto
Askeleet
Osa 1/3: Matriisien jaottavuuden testaaminen
Osa 2/3: Käänteismatriisin löytäminen
Osa 3/3: Matriisin kertolasku
Vinkkejä
Varoitukset
Muita artikkeleita

Jos osaat kertoa kaksi matriisia, voit aloittaa matriisien jakamisen. Sana ”jako” on lainausmerkeissä, koska matriiseja ei voida jakaa. Jakotoiminto korvataan yhdellä matriisilla kertomalla matriisi, joka on toisen matriisin käänteinen. Yksinkertaisuuden vuoksi harkitse esimerkkiä, jossa on kokonaislukuja: 10 ÷ 5. Etsi käänteisarvo 5: 5 tai /₅, ja korvaa jako kertomalla: 10 x 5; jakamisen ja kertomisen tulos on sama. Siksi uskotaan, että jakautuminen voidaan korvata kertomalla käänteismatriisilla. Tyypillisesti tällaisia laskelmia käytetään ratkaisemaan lineaarisia yhtälöjärjestelmiä.

Lyhyt yhteenveto

Et voi jakaa matriiseja. Jakamisen sijaan yksi matriisi kerrotaan toisen matriisin käänteisellä. Kahden matriisin "jako" [A] ÷ [B] kirjoitetaan seuraavasti: [A] * [B] tai [B] * [A].
Jos matriisi [B] ei ole neliö tai jos sen determinantti on 0, kirjoita "ei yksiselitteistä ratkaisua". Muussa tapauksessa etsi matriisin [B] determinantti ja siirry seuraavaan vaiheeseen.
Etsi käänteinen: [B].
Kerro matriisit löytääksesi [A] * [B] tai [B] * [A]. Muista, että matriisien kertojärjestys vaikuttaa lopputulokseen (eli tulokset voivat vaihdella).

Askeleet

Osa 1/3: Matriisien jaottavuuden testaaminen

1 Ymmärrä matriisien "jako". Itse asiassa matriiseja ei voida jakaa. Ei ole olemassa sellaista matemaattista operaatiota kuin "yhden matriisin jakaminen toisella". Jakaminen korvataan kertomalla yksi matriisi toisen matriisin käänteisellä. Toisin sanoen merkintä [A] ÷ [B] ei ole oikea, joten se korvataan seuraavalla merkinnällä: [A] * [B]. Koska molemmat merkinnät ovat vastaavia skalaariarvojen tapauksessa, voimme teoriassa puhua matriisien "jaosta", mutta silti on parempi käyttää oikeaa terminologiaa.
- Huomaa, että [A] * [B] ja [B] * [A] ovat erilaisia toimintoja. Saattaa olla tarpeen suorittaa molemmat toimenpiteet löytääkseen kaikki mahdolliset ratkaisut.
- Esimerkiksi sen sijaan ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ Kirjoita ylös ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} }$ .
  Saatat joutua laskemaan ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} }$ saadakseen toisenlaisen tuloksen.
2 Varmista, että matriisi, jolla jaat toisen matriisin, on neliö. Jos haluat kääntää matriisin (löytää matriisin käänteisarvon), sen on oltava neliö eli sama määrä rivejä ja sarakkeita. Jos käänteinen matriisi ei ole käänteinen, ei ole varmaa ratkaisua.
- Jälleen kerran matriisit eivät ole "jaettavissa" täällä. Toiminnassa [A] * [B] kuvattu ehto viittaa matriisiin [B]. Esimerkissämme tämä ehto viittaa matriisiin ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$
- Matriisia, joka voidaan kääntää, kutsutaan ei-rappeutuneeksi tai säännölliseksi. Matriisia, jota ei voida kääntää, kutsutaan rappeutuneeksi tai yksikköksi.
3 Tarkista, voidaanko kaksi matriisia kertoa. Kahden matriisin kertomiseksi ensimmäisen matriisin sarakkeiden määrän on oltava yhtä suuri kuin toisen matriisin rivien määrä. Jos tämä ehto ei täyty kohdassa [A] * [B] tai [B] * [A], ratkaisua ei ole.
- Jos esimerkiksi matriisin [A] koko on 4 x 3 ja matriisin [B] koko on 2 x 2, ratkaisua ei ole. Et voi kertoa [A] * [B], koska 4 ≠ 2, ja et voi kertoa [B] * [A], koska 2 ≠ 3.
- Huomaa, että käänteismatriisissa [B] on aina sama määrä rivejä ja sarakkeita kuin alkuperäisessä matriisissa [B]. Käänteismatriisin löytäminen ei ole välttämätöntä sen tarkistamiseksi, että kaksi matriisia voidaan kertoa.
- Esimerkissämme molempien matriisien koko on 2 x 2, joten ne voidaan kertoa missä tahansa järjestyksessä.
4 Etsi 2 × 2 -matriisin determinantti. Muista: voit kääntää matriisin vain, jos sen determinantti ei ole nolla (muuten et voi kääntää matriisia). Näin löydät 2 x 2 -matriisin determinantin:
- 2 x 2 matriisi: matriisin determinantti ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ on yhtä kuin ad - bc. Toisin sanoen päälävistäjien elementtien tuotteesta (kulkee vasemman yläkulman ja oikean alakulman läpi) vähennä toisen diagonaalin elementtien tuotteet (kulkee oikean ylä- ja vasemman alakulman läpi).
- Esimerkiksi matriisin determinantti ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ on yhtä suuri kuin (7) (3) - (4) (2) = 21-8 = 13. Determinantti ei ole nolla, joten tämä matriisi voidaan kääntää.
5 Etsi suuremman matriisin determinantti. Jos matriisin koko on 3 x 3 tai enemmän, determinanttia on hieman vaikeampi laskea.
- 3 x 3 matriisi: valitse mikä tahansa kohde ja vedä rivi ja sarake, jossa se on.Etsi tuloksena olevan 2 × 2 -matriisin determinantti ja kerro se valitulla elementillä; määritä determinantin merkki erityisessä taulukossa. Toista tämä prosessi kahdelle muulle kohteelle, jotka ovat samalla rivillä tai sarakkeessa valitsemasi kohteen kanssa. Etsi sitten saatujen (kolmen) determinantin summa. Lue tästä artikkelista lisätietoja siitä, kuinka löytää 3 x 3 -matriisin determinantti.
- Suuret matriisit: tällaisten matriisien determinanttia etsitään parhaiten graafisella laskimella tai ohjelmistolla. Menetelmä on samanlainen kuin menetelmä 3 × 3 -matriisin determinantin löytämiseksi, mutta sen käyttäminen manuaalisesti on melko työlästä. Esimerkiksi 4 x 4 -matriisin determinantin löytämiseksi sinun on löydettävä neljän 3 x 3 -matriisin determinantit.
6 Jatka laskemista. Jos matriisi ei ole neliö tai jos sen determinantti on nolla, kirjoita "ei yksiselitteistä ratkaisua", eli laskentaprosessi on valmis. Jos matriisi on neliö ja siinä on nollasta poikkeava determinantti, siirry seuraavaan osaan.

Osa 2/3: Käänteismatriisin löytäminen

1 Vaihda 2 x 2 -matriisin päälävistäjän elementit. Jos matriisi on 2 × 2, käytä nopeaa käänteistä menetelmää. Vaihda ensin vasen yläosa ja oikea alaosa. Esimerkiksi:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$
- merkintä: useimmat ihmiset käyttävät laskinta kääntääkseen 3 x 3 (tai suurempi) matriisin. Jos sinun on tehtävä tämä manuaalisesti, siirry tämän osan loppuun.
2 Älä vaihda kahta muuta osaa, vaan muuta niiden merkkiä. Eli kerro oikeassa yläkulmassa oleva elementti ja vasen alakulma -1:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
3 Etsi determinantin vastavuoroisuus. Tämän matriisin determinantti löytyi edellisestä osasta, joten emme laske sitä uudelleen. Determinantin käänteinen kirjoitetaan seuraavasti: 1 / (determinantti):
- Esimerkissämme determinantti on 13. Käänteinen arvo: ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$ .
4 Kerro tuloksena oleva matriisi determinantin käänteisarvolla. Kerro uuden matriisin jokainen elementti determinantin käänteisellä. Lopullinen matriisi on alkuperäisen 2 x 2 -matriisin käänteinen:
- ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
  = ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} ja { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$
5 Tarkista, että laskelmat ovat oikein. Voit tehdä tämän kertomalla alkuperäisen matriisin sen käänteisellä. Jos laskelmat ovat oikein, alkuperäisen matriisin tulo käänteisellä antaa identiteettimatriisin: (1001){ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}... Jos testi onnistui, siirry seuraavaan osaan.
- Esimerkissämme: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} ja { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$ .
- Jos haluat lisätietoja matriisien kertomisesta, lue tämä artikkeli.
- Huomaa: matriisin kertolasku ei ole kommutoiva, eli matriisien järjestys on tärkeä. Mutta kun alkuperäinen matriisi kerrotaan sen käänteisellä, mikä tahansa järjestys johtaa identiteettimatriisiin.
6 Etsi 3 x 3 -matriisin käänteisluku (tai isompi). Jos olet jo perehtynyt tähän prosessiin, on parempi käyttää graafista laskinta tai erityistä ohjelmistoa. Jos käänteismatriisi on löydettävä manuaalisesti, prosessi kuvataan lyhyesti alla:
- Liitä identiteettimatriisi I alkuperäisen matriisin oikealle puolelle. Esimerkiksi [B] → [B | Minä]. Identiteettimatriisin osalta kaikki päälävistäjän elementit ovat yhtä kuin 1 ja kaikki muut elementit ovat 0.
- Yksinkertaista matriisia niin, että sen vasen puoli tulee porrastetuksi; yksinkertaistamista niin, että vasemmasta reunasta tulee identiteettimatriisi.
- Yksinkertaistamisen jälkeen matriisi on seuraavassa muodossa: [I | B]. Toisin sanoen sen oikea puoli on alkuperäisen matriisin käänteinen.

Osa 3/3: Matriisin kertolasku

1 Kirjoita kaksi mahdollista lauseketta. Kahden skalaarin kertominen on kommutaatiota, eli 2 x 6 = 6 x 2.Näin ei ole matriisin kertomisen tapauksessa, joten sinun on ehkä ratkaistava kaksi lauseketta:
- x = [A] * [B] on ratkaisu yhtälöön x[B] = [A].
- x = [B] * [A] on ratkaisu yhtälöön [B]x = [A].
- Suorita jokainen laskutoimitus yhtälön molemmin puolin. Jos [A] = [C], niin [B] [A] ≠ [C] [B], koska [B] on [A]: n vasemmalla puolella, mutta [C]: n oikealla puolella.
2 Määritä lopullisen matriisin koko. Lopullisen matriisin koko riippuu kerrottujen matriisien koosta. Lopullisen matriisin rivien määrä on yhtä suuri kuin ensimmäisen matriisin rivien määrä ja lopullisen matriisin sarakkeiden määrä on yhtä suuri kuin toisen matriisin sarakkeiden määrä.
- Esimerkissämme molempien matriisien koko ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$ ja ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} ja { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$ on 2 x 2, joten alkuperäisen matriisin koko on 2 x 2.
- Tarkastellaan monimutkaisempaa esimerkkiä: jos matriisin koko [A] on 4 x 3, ja matriisin [B] koko on 3 x 3, lopullinen matriisi [A] * [B] on 4 x 3.
3 Etsi ensimmäisen elementin arvo. Lue tämä artikkeli tai muista seuraavat perusvaiheet:
- Löytääksesi lopullisen matriisin [A] [B] ensimmäisen elementin (ensimmäinen rivi, ensimmäinen sarake), laske matriisin ensimmäisen rivin [A] ja ensimmäisen matriisin [B] sarakkeen elementtien pistetulo. ]. Jos matriisi on 2 x 2, pistetulo lasketaan seuraavasti: ${ displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$ .
- Esimerkissämme: ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} ja { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}}}$ ... Siten lopullisen matriisin ensimmäinen elementti on elementti:
  ${ displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
  ${ displaystyle = 3 + -4}$
  ${ displaystyle = -1}$
4 Jatka pisteiden laskemista löytääksesi lopullisen matriisin jokainen elementti. Esimerkiksi toisella rivillä ja ensimmäisessä sarakkeessa oleva elementti on yhtä suuri kuin matriisin [A] toisen rivin ja matriisin [B] ensimmäisen sarakkeen pistetulo. Yritä löytää loput kohteet itse. Sinun pitäisi saada seuraavat tulokset:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} ja { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 end {pmatrix}}}$
- Jos haluat löytää toisen ratkaisun: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} ja { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 loppu {pmatrix}}}$

Vinkkejä

Matriisi voidaan jakaa skalaariksi; tätä varten jokainen matriisin elementti on jaettu skalaarilla.
- Esimerkiksi jos matriisi ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ jaettuna 2: lla, saat matriisin ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$

Varoitukset

Laskin ei aina anna täysin tarkkoja tuloksia matriisilaskelmissa. Jos esimerkiksi laskin väittää, että kohde on hyvin pieni luku (kuten 2E), arvo on todennäköisesti nolla.