Sisältö

• Askeleet
• Neuvoja

Pythagoraan lause (Pythagore) on laajalti käytetty matemaattinen lause ja sillä on monia käytännön sovelluksia. Lauseessa todetaan, että missä tahansa suorakulmiossa kahden oikean puolen neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusin neliö. Toisin sanoen suorassa kolmiossa, jossa on kohtisuorat sivut pituudella a ja b ja hypotenuusan pituudella c, meillä on aina a + b = c. Pythagoraan lause on yksi geometrian peruspilareista. On olemassa lukemattomia käytännön sovelluksia, kuten etäisyyden löytäminen kahden pisteen välillä koordinaattitasossa.

Askeleet

Tapa 1/2: Etsi suorakulmion sivut

1. 

   Varmista, että kolmiosi on suorakulmainen. Pythagoraan lause koskee vain suorakulmioita. Joten, ennen kuin jatkat, varmista, että kolmio täyttää suorakulmion kriteerit. Onneksi kriteerejä on vain yksi - jotta se olisi suorakulmainen kolmio, sen on oltava 90 asteen kulma.
   • Visuaalisena osoituksena oikea kulma on yleensä merkitty pienellä neliöllä, mutta ei ympyrän "käyrällä". Etsi tämä erikoismerkki kolmion kulmasta.

2. 

   
   
   Kutsu kolmion sivuja a, b ja c. Pythagoraan lauseessa a ja b ovat suorakulmaisia ​​sivuja, c on hypotenuusi - pisin sivu on aina vastakkaisia ​​suorakulmia. Joten aluksi, kutsu kolmion lyhyemmät sivut a ja b (ei ole väliä mikä puoli on 'a' tai 'b') ja kutsu hypotenuusa c.

3. 

   
   
   Selvitä, mikä kolmion sivu on löydettävä. Pythagoraan lauseen avulla matemaatikot voivat löytää minkä tahansa pituuden yksi Mikä kolmion sivu on oikea, kunhan he tietävät pituuden kaksi muuta reunaa. Määritä tuntemattoman pituinen reuna - a, b, ja tai c. Jos vain yksi reuna on tuntematon, voit aloittaa.
   • Oletetaan esimerkiksi, että tiedämme, että hypotenuusilla on pituus 5 ja yhdellä sen sivuilla on pituus 3, mutta emme tiedä mikä kolmas puoli on. Tässä tapauksessa ratkaisemme kolmannen puolen löytämisen ongelman, koska tiedämme jo kahden muun puolen pituudet. Käytämme tätä esimerkkiä seuraavissa vaiheissa.
   • Jos pituus kaksi Reuna on tuntematon, sinun on määritettävä vielä yhden reunan pituus Pythagoraan lauseen käyttämistä varten. Trigonometriset perustoiminnot voivat auttaa, jos osaat mitata yhtä kolmion terävistä kulmista.

4. 

   
   
   Korvaa yhtälöön kaksi tunnettua arvoa. Liitä kolmion sivujen pituudet yhtälöön a + b = c. Muista, että a ja b ovat suorakulmaisia ​​ja c on hypotenuusa.
   • Yllä olevassa esimerkissä tiedetään sivun ja hypotenuusin pituudet (joka on 3 ja 5), ​​joten yhtälö on 3² + b² = 5²

5. 

   Neliö. Yhtälön ratkaisemiseksi aloita neliöimällä kaikki tunnetut reunat. Lisäksi, jos sinulla on helpompaa, voit jättää sivujen pituudet eksponentiaaliseksi ja neliöidä ne myöhemmin.
   • Tässä esimerkissä neliömme 3 ja 5 saadaksemme sen 9 ja 25. Yhtälö, joka voidaan kirjoittaa uudelleen, on 9 + b² = 25.

6. 

   Jaa tuntematon muuttuja yhtälön toiselle puolelle. Tarvittaessa käytä perusalgebraa tuntemattoman muuttujan syrjäyttämiseksi yhtälöstä ja kaksi neliönumeroa yhtälön sivuun. Jos löydät hypotenuusin, c on jo erillisellä puolella, joten sinun ei tarvitse tehdä mitään sen erottamiseksi.
   • Tässä esimerkissä nykyinen yhtälö on 9 + b² = 25. Jos haluat jakaa b²: n, vähennä yhtälön molemmat puolet arvolle 9. Tulokseksi saatu yhtälö on b² = 16.

7. 

   Hanki yhtälön molempien puolien neliöjuuri. Sinulla on nyt yksi neliömuuttuja yhtälön toisella puolella ja numero toisella. Ota tuntematon sivupituus ottamalla molempien sivujen neliöjuuri.
   • Tässä esimerkissä b² = 16, kun molempien sivujen neliöjuuri antaa b = 4. Löydettävän sivun pituus on siis 4.

8. 

   Etsi Pythagoraan lauseesta todellisen suorakulmion sivu. Syy tähän lauseeseen on nykyään laajalti käytetty siksi, että sitä voidaan soveltaa moniin käytännön tilanteisiin. Opi tunnistamaan suorakulmio elämässä - missä tahansa tilanteessa, jossa kaksi esinettä tai kaksi viivaa leikkaa suorassa kulmassa ja kolmas esine tai viiva leikkaa oikean kulman, voit käyttää Jhanaa. Pythagoraan menetelmä toisen sivun pituuden löytämiseksi kahden muun pituuden perusteella.
   • Otetaan esimerkki käytännössä. Tikkaat nojaavat rakennusta vasten. Portaikko on 5 metrin päässä seinän juuresta. Hissi rakennuksen korkeudelle 20 m. Kuinka kauan tikkaat ovat?
     • Portaikko 5 m seinän juuresta ja 20 m rakennuksen seinästä kertoo meille kolmion sivujen pituudet. Koska seinä ja maa leikkaavat suorassa kulmassa ja tikkaat pystyttävät seinän vinosti, voimme kuvitella sen suorakolmiona, jonka sivupituudet a = 5 ja b = 20. Tikapuut ovat hypotenuusi, joten c ei tiedä. Käytetään Pythagoraan lause:
       • a² + b² = c²
       • (5) ² + (20) ² = c²
       • 25 + 400 = c2
       • 425 = c2
       • Neliöjuuri (425) = c
       • c = 20,6. Tikkaiden arvioitu pituus on 20,6 m.
   mainos

Tapa 2/2: Laske kahden pisteen välinen etäisyys X-Y-tasossa

1. 

   Määritä kaksi pistettä X-Y-tasossa. Pythagoraan lauseen avulla voidaan helposti laskea kahden pisteen välinen lineaarinen etäisyys X-Y-tasossa. Sinun tarvitsee vain tietää minkä tahansa kahden pisteen x- ja y-koordinaatit. Yleensä nämä koordinaatit kirjoitetaan koordinaattien (x, y) pareittain.
   • Näiden kahden pisteen välisen etäisyyden löytämiseksi käsittelemme kutakin pistettä yhtenä suorakulmion suorana kulmana. Tällä tavalla on helppo löytää sivupituudet a ja b ja laskea sitten sivu c tai tarkalleen kahden pisteen välinen etäisyys.

2. 

   Piirrä kaavioon kaksi pistettä. Normaalissa X-Y-tasossa x on kunkin pisteen (x, y) koordinaatti vaaka-akselilla ja y on koordinaatti pystyakselilla. Löydät etäisyydet kahden pisteen välillä piirtämättä niitä kaavioon, mutta piirtäminen auttaa sinua näkemään paremmin.

3. 

   Etsi kolmion oikean puolen pituudet. Käyttämällä kahta pistettä, jotka on annettu hypotenuusin vieressä olevan kolmion kulmina, etsi kolmion sivut a ja b. Voit tehdä tämän visuaalisesti kuvaajalla tai käyttämällä kaavaa | x₁ - x₂| vaakareunoille ja | y₁ - y₂| pystyreunalle, missä (x₁, y₁) on ensimmäinen piste ja (x₂, y₂) on toinen kohta.
   • Oletetaan, että kaksi pistettä ovat (6,1) ja (3,5). Kolmion vaakasuoran sivun pituus on:
     • | x₁ - x₂|
     • |3 - 6|
     • | -3 | = 3
   • Pystysuuntaisen reunan pituus on:
     • | y₁ - y₂|
     • |1 - 5|
     • | -4 | = 4
   • Joten voimme sanoa, että tässä suorakulmiossa sivu a = 3 ja sivu b = 4.

4. 

   Ratkaise hypotenuusin yhtälö Pythagoraan lauseen avulla. Kahden määritetyn pisteen välinen etäisyys on kolmion, jossa on kaksi suorakulmaista sivua, hypotenuus, kuten olemme juuri määrittäneet. Käytä hypotenuusa tavallisen Pythagoraan lauseen avulla, olkoon a ensimmäisen sivun pituus ja b toisen puolen pituus.
   • Pisteiden (3,5) ja (6,1) esimerkissä suorakulmien pituudet ovat 3 ja 4, joten laskemme hypotenuusin pituuden seuraavasti:

     • (3) ² + (4) ² = c²

       c = (9 + 16) neliöjuuri

       c = (25): n neliöjuuri

       c = 5. Kahden pisteen (3,5) ja (6,1) välinen etäisyys on 5.

   mainos

Neuvoja

• Hypotenuus on aina:
  • leikkaa suorat kulmat (älä ristitä suoria kulmia)
  • on suorakulmion pisin sivu
  • edustaja c Pythagoraan lauseessa
• Tarkista aina tulokset.
• Toinen testi - pisin sivu on suurin ja pienin.
• Suorakolmiossa tiedät kolmannen sivun vain, kun tiedät kahden muun sivun pituudet.
• Jos kolmio ei ole suorakulmainen, sinun on oltava lisätietoja sivupituuksien lisäksi.
• Jos haluat määrittää tarkat arvot a: lle, b: lle ja c: lle, sinun tulee edustaa kolmiota piirustusmuodossa, erityisesti logiikka- tai sanaongelmien yhteydessä.
• Jos sinulla on vain yksipuoliset mittaukset, et voi käyttää Pythagoraan teoreemaa. Käytä sen sijaan trigonometrisiä toimintoja (sin, cos, tan) tai 30-60-90 / 45-45-90-suhdetta.