Sisältö

• Askeleet
• Menetelmä 1/3: Kuinka löytää tuntematon puoli
• Tapa 2/3: Tuntemattoman kulman löytäminen
• Tapa 3/3: Näyteongelmat
• Vinkkejä

Kosinilause on laajalti käytetty trigonometriassa. Sitä käytetään työskenneltäessä epäsäännöllisten kolmioiden kanssa tuntemattomien määrien, kuten sivujen ja kulmien, löytämiseksi. Lause on samanlainen kuin Pythagoraan lause ja on melko helppo muistaa. Kosinilause sanoo, että missä tahansa kolmiossa ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

Askeleet

Menetelmä 1/3: Kuinka löytää tuntematon puoli

1. 1 Kirjoita tunnetut arvot muistiin. Jos haluat löytää kolmion tuntemattoman sivun, sinun on tiedettävä kaksi muuta sivua ja niiden välinen kulma.
   • Esimerkiksi annetaan kolmio XYZ. YX -puoli on 5 cm, YZ -puoli on 9 cm ja Y -kulma on 89 °. Mikä on XZ -puoli?
2. 2 Kirjoita ylös kosini -lauseen kaava. Kaava: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, missä ${ displaystyle c}$ - tuntematon puolue, ${ displaystyle cos {C}}$ - tuntemattoman sivun vastakkaisen kulman kosini, ${ displaystyle a}$ ja ${ displaystyle b}$ - kaksi tunnettua puolta.
3. 3 Liitä tunnetut arvot kaavaan. Muuttujat ${ displaystyle a}$ ja ${ displaystyle b}$ merkitse kahta tunnettua puolta. Muuttuva ${ displaystyle C}$ on tunnettu kulma, joka sijaitsee sivujen välissä ${ displaystyle a}$ ja ${ displaystyle b}$.
   • Esimerkissämme XZ -puoli on tuntematon, joten kaavassa sitä merkitään ${ displaystyle c}$... Koska sivut YX ja YZ tunnetaan, ne on merkitty muuttujilla ${ displaystyle a}$ ja ${ displaystyle b}$... Muuttuva ${ displaystyle C}$ on kulma Y. Joten kaava kirjoitetaan seuraavasti: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}$.
4. 4 Etsi tunnetun kulman kosini. Tee se laskimella. Anna kulma -arvo ja napsauta sitten ${ displaystyle COS}$... Jos sinulla ei ole tieteellistä laskinta, etsi esimerkiksi online -kosinitaulukko täältä. Myös Yandexissa voit kirjoittaa "X -asteen kosini" (korvaa kulma -arvon X: llä), ja hakukone näyttää kulman kosinin.
   • Esimerkiksi kosini on 89 ° ≈ 0,01745. Niin: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0,01745)}$.
5. 5 Kerro numerot. Kerro ${ displaystyle 2ab}$ tunnetun kulman kosinin avulla.
   • Esimerkiksi:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0,01745)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1,5707}$
6. 6 Taita tunnettujen sivujen neliöt. Muista, että jos haluat neliöidä luvun, se on kerrottava itsestään. Neliöi ensin vastaavat numerot ja lisää sitten tuloksena olevat arvot.
   • Esimerkiksi:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1,5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 25 + 81-1,5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1,5707}$
7. 7 Vähennä kaksi numeroa. Löydät ${ displaystyle c ^ {2}}$.
   • Esimerkiksi:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1,5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
8. 8 Ota tämän arvon neliöjuuri. Käytä tätä laskinta. Näin löydät tuntemattoman puolen.
   • Esimerkiksi:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104.4293}}}$
     ${ displaystyle c = 10.2191}$
     Tuntematon puoli on siis 10,2191 cm.

Tapa 2/3: Tuntemattoman kulman löytäminen

1. 1 Kirjoita tunnetut arvot muistiin. Jos haluat löytää kolmion tuntemattoman kulman, sinun on tiedettävä kaikki kolmion kolme sivua.
   • Esimerkiksi annetaan kolmio RST. Sivu CP = 8 cm, ST = 10 cm, PT = 12 cm Etsi kulman S arvo.
2. 2 Kirjoita ylös kosini -lauseen kaava. Kaava: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, missä ${ displaystyle cos {C}}$ - tuntemattoman kulman kosini, ${ displaystyle c}$ - tunnettu puoli vastapäätä tuntematonta kulmaa, ${ displaystyle a}$ ja ${ displaystyle b}$ - kaksi muuta kuuluisaa juhlaa.
3. 3 Etsi arvot a{ displaystyle a}, b{ displaystyle b} ja c{ displaystyle c}. Liitä ne sitten kaavaan.
   • Esimerkiksi RT -puoli on vastapäätä tuntematonta kulmaa S, joten RT -puoli on ${ displaystyle c}$ kaavassa. Muut puolueet tekevät ${ displaystyle a}$ ja ${ displaystyle b}$... Joten kaava kirjoitetaan seuraavasti: ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}$.
4. 4 Kerro numerot. Kerro ${ displaystyle 2ab}$ tuntemattoman kulman kosinin avulla.
   • Esimerkiksi, ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 Pystytä c{ displaystyle c} neliössä. Eli kerro itse luku.
   • Esimerkiksi, ${ displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 Taita neliöt a{ displaystyle a} ja b{ displaystyle b}. Mutta ensin neliöi vastaavat numerot.
   • Esimerkiksi:
     ${ displaystyle 144 = 64 + 100-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle 144 = 164-160 cos {C}}$
7. 7 Eristä tuntemattoman kulman kosini. Tätä varten vähennä summa ${ displaystyle a ^ {2}}$ ja ${ displaystyle b ^ {2}}$ yhtälön molemmilta puolilta. Jaa sitten yhtälön molemmat puolet kerroimella, jonka kulma on kosini.
   • Esimerkiksi eristääksesi tuntemattoman kulman kosinin, vähennä 164 yhtälön molemmilta puolilta ja jaa sitten molemmat puolet -160:
     ${ displaystyle 144-164 = 164-164-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle -20 = -160 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-20} {- 160}} = { frac {-160 cos {C}} {- 160}}}$
     ${ displaystyle 0,125 = cos {C}}$
8. 8 Laske käänteinen kosini. Tämä löytää tuntemattoman kulman arvon. Laskimessa käänteinen kosinifunktio on merkitty ${ displaystyle COS ^ {- 1}}$.
   • Esimerkiksi arkosiini 0,0125 on 82,8192. Kulma S on siis 82,8192 °.

Tapa 3/3: Näyteongelmat

1. 1 Etsi kolmion tuntematon sivu. Tunnetut sivut ovat 20 cm ja 17 cm, ja niiden välinen kulma on 68 °.
   • Koska sinulle on annettu kaksi puolta ja niiden välinen kulma, voit käyttää kosini -teoriaa. Kirjoita kaava muistiin: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Tuntematon puoli on ${ displaystyle c}$... Liitä tunnetut arvot kaavaan: ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$.
   • Laskea ${ displaystyle c ^ {2}}$, noudattaen matemaattisten toimintojen järjestystä:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0,3746)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254,7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 400 + 289-254,7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 689-254,7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 434.2675}$
   • Ota yhtälön molemmin puolin neliöjuuri. Näin löydät tuntemattoman puolen:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434.2675}}}$
     ${ displaystyle c = 20.8391}$
     Tuntematon puoli on siis 20,8391 cm.
2. 2 Etsi kulma H kolmiosta GHI. Kulman H viereiset sivut ovat 22 ja 16 cm. Kulmaa H vastapäätä oleva sivu on 13 cm.
   • Koska kaikki kolme puolta on annettu, kosini -lause voidaan käyttää. Kirjoita kaava muistiin: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Tuntematonta kulmaa vastapäätä oleva puoli on ${ displaystyle c}$... Liitä tunnetut arvot kaavaan: ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}$.
   • Yksinkertaista tuloksena oleva lauseke:
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 740-704 cos {C}}$
   • Eristä kosini:
     ${ displaystyle 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ displaystyle -571 = -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-571} {- 704}} = { frac {-704 cos {C}} {- 704}}}$
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
   • Etsi käänteinen kosini. Näin voit laskea tuntemattoman kulman:
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
     ${ displaystyle 35.7985 = COS ^ {- 1}}$.
     Siten kulma H on 35,7985 °.
3. 3 Etsi reitin pituus. Joen, mäkisen ja suo -polut muodostavat kolmion. Joen polun pituus on 3 km, Mäkipolun pituus 5 km; nämä reitit leikkaavat toisiaan 135 asteen kulmassa. Suopolku yhdistää muiden polkujen kaksi päätä. Etsi suonreitin pituus.
   • Polut muodostavat kolmion. Sinun on löydettävä tuntemattoman polun pituus, joka on kolmion sivu. Koska kahden muun polun pituudet ja niiden välinen kulma on annettu, voidaan käyttää kosini -teoriaa.
   • Kirjoita kaava muistiin: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Tuntematon polku (Swamp) merkitään nimellä ${ displaystyle c}$... Liitä tunnetut arvot kaavaan: ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$.
   • Laskea ${ displaystyle c ^ {2}}$:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) ( - 0,7071)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - ( - 21.2132)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 9 + 25 + 21.2132}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 55.2132}$
   • Ota yhtälön molemmin puolin neliöjuuri. Näin löydät tuntemattoman polun pituuden:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55.2132}}}$
     ${ displaystyle c = 7.4306}$
     Suorareitin pituus on siis 7,4306 km.

Vinkkejä

• Sinilause on helpompi käyttää. Siksi selvitä ensin, voidaanko sitä soveltaa annettuun ongelmaan.