Kuinka luku voidaan laskea alkutekijöiden tuloksi

Sisältö

Askeleet
Osa 1/2: Päätekijöiden löytäminen
Osa 2/2: Prime -tekijöiden käyttäminen
Esimerkkejä tehtävistä
Vinkkejä
Varoitukset

Mikä tahansa luonnollinen luku voidaan hajottaa alkutekijöiden tuloksi. Jos et halua käsitellä suuria numeroita, kuten 5733, opi ottamaan ne huomioon (tässä tapauksessa 3 x 3 x 7 x 7 x 13). Samanlainen tehtävä esiintyy usein salauksessa, joka käsittelee tietoturvaongelmia. Jos et ole vielä valmis rakentamaan omaa suojattua sähköpostijärjestelmääsi, opi ensin ottamaan huomioon numerot.

Askeleet

Osa 1/2: Päätekijöiden löytäminen

1 Opi mitä faktoring on. Numeron hajoaminen tekijöiden tuloksi on prosessi, jossa se "jaetaan" pienemmiksi osiksi.Kerrottuna nämä osat tai tekijät antavat alkuperäisen numeron.
- Esimerkiksi numero 18 voidaan jakaa seuraaviin tuotteisiin: 1 x 18, 2 x 9 tai 3 x 6.
2 Muista, mitkä alkuluvut ovat. Alkuluku on jaettavissa vain kahdella luvulla ilman jäännöstä: itsellään ja yhdellä. Esimerkiksi luku 5 voidaan esittää tulona 5 ja 1. Tätä lukua ei voida jakaa muihin tekijöihin. Luvun jakamisen alkutekijöiksi tarkoituksena on esittää se alkulukujen tulona. Tämä on erityisen hyödyllistä murto -osien käsittelyssä, koska sen avulla voit vertailla ja yksinkertaistaa niitä.
3 Aloita alkuperäisellä numerolla. Valitse yhdistelmäluku, joka on suurempi kuin 3. Ei ole järkevää ottaa alkulukua, koska se on jaollinen vain itsestään ja yhdestä.
- Esimerkki: Hajotaan luku 24 alkulukujen tuloksi.
4 Jaetaan tämä luku kahden tekijän tuloksi. Etsi kaksi pienempää numeroa, joiden tulo on sama kuin alkuperäinen luku. Mitä tahansa tekijää voidaan käyttää, mutta alkulukujen ottaminen on helpompaa. Yksi hyvä tapa on yrittää jakaa alkuperäinen numero ensin 2: lla, sitten 3: lla, sitten 5: llä ja tarkistaa, mikä näistä alkeista se jakaa ilman jäännöstä.
- Esimerkki: Jos et tiedä tekijöitä 24, yritä jakaa se pienillä alkukohdilla. Joten huomaat, että annettu luku on jaollinen 2: 24 = 2 x 12... Tämä on hyvä alku.
- Koska 2 on alkuluku, on hyvä käyttää sitä parillisten lukujen laskennassa.
5 Aloita kerroinpuun rakentaminen. Tämä yksinkertainen toimenpide auttaa sinua määrittämään luvun. Vedä aluksi kaksi "haaraa" alaspäin alkuperäisestä numerosta. Kirjoita kunkin haaran loppuun löydetyt tekijät.
- Esimerkki:
- 24
- /
- 2 12
6 Kerro seuraava numerorivi. Katsokaa kahta uutta numeroa (kerroinpuun toinen rivi). Ovatko molemmat alkulukuja? Jos jokin niistä ei ole yksinkertainen, ota se huomioon myös kahdella tekijällä. Tee kaksi haaraa lisää ja kirjoita kaksi uutta tekijää puun kolmanteen riviin.
- Esimerkki: 12 ei ole alkuluku, joten se on laskettava tekijäksi. Käytä hajotusta 12 = 2 x 6 ja kirjoita se puun kolmannelle riville:
- 24
- /
- 2 12
- /
- 2 x 6
7 Jatka puusta alas. Jos jokin uusista tekijöistä osoittautuu alkuluvuksi, piirrä siitä yksi "haara" ja kirjoita sama luku sen loppuun. Alkulukuja ei voi laajentaa pienemmiksi tekijöiksi, joten siirrä ne vain alaspäin.
- Esimerkki: 2 on prime. Siirry vain toiselta riviltä 2 kolmannelle:
- 24
- /
- 2 12
- / /
- 2 2 6
8 Jatka numerointia, kunnes sinulle jää vain alkuluvut. Tarkista puun jokainen uusi rivi. Jos ainakin yksi uusista tekijöistä ei ole alkuluku, kerro se ja kirjoita uusi rivi. Lopulta sinulle jää vain alkuluvut.
- Esimerkki: 6 ei ole alkuluku, joten se tulee myös tekijäksi. Samaan aikaan 2 on alkuluku, ja siirrämme nämä kaksi seuraavalle tasolle:
- 24
- /
- 2 12
- / /
- 2 2 6
- / / /
- 2 2 2 3
9 Kirjoita viimeinen rivi alkutekijöiden tuloksi. Lopulta sinulle jää vain alkuluvut. Kun tämä tapahtuu, alkutekijä on valmis. Viimeinen rivi on alkujoukko, jonka tulo antaa alkuperäisen numeron.
- Tarkista vastauksesi: kerro viimeisellä rivillä olevat numerot. Tuloksen tulee olla alkuperäinen numero.
- Esimerkki: Tekijäpuun viimeinen rivi sisältää numerot 2 ja 3. Molemmat luvut ovat alkulähteitä, joten hajoaminen on valmis. Siten alkutekijänä 24 on seuraava muoto: 24 = 2 x 2 x 2 x 3.
- Tekijöiden järjestyksellä ei ole väliä. Hajoaminen voidaan kirjoittaa myös muodossa 2 x 3 x 2 x 2.
10 Yksinkertaista vastaustasi käyttämällä eksponentiaalista merkintätapaa, jos haluat. Jos tunnet numeroiden eksponentaation, voit kirjoittaa vastauksen yksinkertaisemmassa muodossa.Muista, että pohja on kirjoitettu alareunaan ja yläindeksi osoittaa kuinka monta kertaa tämä pohja tulee kertoa itsestään.
- Esimerkki: kuinka monta kertaa numero 2 esiintyy löydetyssä hajoamisessa 2 x 2 x 2 x 3? Kolme kertaa, joten lauseke 2 x 2 x 2 voidaan kirjoittaa 2. Yksinkertaistetussa merkinnässä saamme 2 x 3.

Osa 2/2: Prime -tekijöiden käyttäminen

1 Etsi kahden luvun suurin yhteinen jakaja. Kahden numeron suurin yhteinen jakaja (GCD) on enimmäismäärä, jolla molemmat luvut jakautuvat ilman jäännöstä. Alla olevassa esimerkissä näytetään, kuinka alkutekijä avulla voidaan löytää suurin yhteinen jakaja 30 ja 36.
- Lasketaan molemmat luvut alkutekijöiksi. 30: lle tekijä on 2 x 3 x 5. Luku 36 hajotetaan alkutekijöiksi seuraavasti: 2 x 2 x 3 x 3.
- Etsitään numero, joka esiintyy molemmissa laajennuksissa. Yliviivataan tämä numero molemmissa luetteloissa ja kirjoitetaan se uudelle riville. Esimerkiksi 2 esiintyy kahdessa laajennuksessa, joten kirjoitamme 2 uudella linjalla. Sen jälkeen meillä on 30 = 2 x 3 x 5 ja 36 = 2 x 2 x 3 x 3.
- Toista tämä vaihe, kunnes laajennuksissa ei ole enää yhteisiä tekijöitä. Molemmissa luetteloissa on myös numero 3, joten voit kirjoittaa uudelle riville 2 ja 3... Vertaa sitten laajennuksia uudelleen: 30 = ~~2 x 3~~ x 5 ja 36 = 2 x 2 x 3 x 3. Kuten näette, niissä ei ole yhteisiä tekijöitä.
- Löytääksesi suurimman yhteisen tekijän, etsi kaikkien yhteisten tekijöiden tulos. Esimerkissämme nämä ovat 2 ja 3, joten gcd on 2 x 3 = 6... Tämä on suurin luku, joka jakaa luvut 30 ja 36 tasaisesti.
2 GCD: n avulla voit yksinkertaistaa murto -osia. Jos epäilet, että murto -osa voidaan peruuttaa, käytä suurinta yhteistä tekijää. Etsi osoittimen ja nimittäjän GCD edellä kuvatulla tavalla. Jaa sitten murto -osan lukija ja nimittäjä tällä numerolla. Tämän seurauksena saat saman murto -osan yksinkertaisemmassa muodossa.
- Yksinkertaistetaan esimerkiksi murto /₃₆... Kuten edellä totesimme, 30 ja 36 GCD on 6, joten jaamme osoittimen ja nimittäjän 6: lla:
- 30 ÷ 6 = 5
- 36 ÷ 6 = 6
- /₃₆ = /₆
3 Etsi kahden numeron pienin yhteinen monikerta. Kahden numeron vähiten yhteinen monikerta (LCM) on pienin luku, joka jakautuu tasaisesti molemmilla numeroilla. Esimerkiksi 2: n ja 3: n LCM on 6, koska se on pienin luku, joka voidaan jakaa 2: llä ja 3: lla. Alla on esimerkki LCM: n löytämisestä alkutekijällä:
- Aloitetaan kahdella päätekijällä. Esimerkiksi 126: lle tekijä voidaan kirjoittaa muodossa 2 x 3 x 3 x 7. Luku 84 voidaan hajottaa alkutekijöiksi muodossa 2 x 2 x 3 x 7.
- Vertaillaan kuinka monta kertaa jokainen tekijä esiintyy laajennuksissa. Valitse luettelo, jossa kerroin esiintyy enimmäismäärän, ja ympyröi tämä paikka. Esimerkiksi numero 2 näkyy kerran 126: n laajennuksessa ja kahdesti 84: n luettelossa, joten sinun tulee ympyröidä 2 x 2 toisessa tekijäluettelossa.
- Toista tämä vaihe jokaiselle kertoimelle. Esimerkiksi 3 on yleisempi ensimmäisessä laajennuksessa, joten sinun tulee ympyröidä siinä 3 x 3... Numero 7 esiintyy kerran molemmissa luetteloissa, joten ympyröimme 7 (ei ole väliä missä luettelossa, jos annettu tekijä esiintyy molemmissa luetteloissa yhtä monta kertaa).
- Löydä LCM kertomalla kaikki ympyröidyt numerot. Esimerkissämme 126: n ja 84: n vähiten yleinen monikerta on 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252... Tämä on pienin luku, joka voidaan jakaa 126: lla ja 84: llä ilman jäännöstä.
4 Käytä fraktioita LCM: n avulla. Kun lisäät kaksi murto -osaa, ne on saatettava yhteiseen nimittäjään. Voit tehdä tämän etsimällä kahden nimittäjän LCM: n. Kerro sitten kunkin jakeen osoittaja ja nimittäjä sellaisella luvulla, että murtolukujen nimittäjät ovat yhtä suuret kuin LCM. Sen jälkeen voit lisätä murtoluvut.
- Sinun on esimerkiksi löydettävä summa /₆ + /₂₁.
- Käyttämällä yllä olevaa menetelmää löydät LCM: n arvoille 6 ja 21. Se on 42.
- Muunnamme murto -osan /₆ niin että sen nimittäjä on 42. Tätä varten sinun on jaettava 42 luvulla 6: 42 ÷ 6 = 7. Kerro nyt murtoluvun lukija ja nimittäjä luvulla 7: /₆ x /₇ = /₄₂.
- Jos haluat tuoda toisen murto -osan nimittäjään 42, jaa 42 luvulla 21: 42 ÷ 21 = 2. Kerro murtoluvun lukija ja nimittäjä luvulla 2: /₂₁ x /₂ = /₄₂.
- Kun jakeet on laskettu samaan nimittäjään, ne voidaan helposti lisätä: /₄₂ + /₄₂ = /₄₂.

Esimerkkejä tehtävistä

Yritä ratkaista alla olevat ongelmat itse.Jos luulet saaneesi oikean vastauksen, korosta hiirellä paikka, joka on kaksoispisteen takana ongelmailmoituksessa. Jälkimmäiset tehtävät ovat vaikeimpia.
Etsi päätekijä 16: 2 x 2 x 2 x 2
Kirjoita vastauksesi eksponentiaaliseen muotoon: 2
Etsi pääkerroin 45: 3 x 3 x 5
Kirjoita vastauksesi eksponentiaaliseen muotoon: 3 x 5
Etsi päätekijä 34: 2 x 17
Etsi alkutekijä 154: 2 x 7 x 11
Etsi alkutekijä 8 ja 40 ja määritä sitten niiden suurin yhteinen tekijä: alkutekijä 8 on 2 x 2 x 2 x 2; alkutekijä 40 on 2 x 2 x 2 x 5; Kahden numeron GCD 2 x 2 x 2 = 6.
Etsi alkutekijä tekijöille 18 ja 52 ja löydä niiden pienin yhteinen monikerta: 18: n alkutekijä on 2 x 3 x 3; alkutekijä 52 on 2 x 2 x 13; Kahden numeron LCM on 2 x 2 x 3 x 3 x 13 = 468.

Vinkkejä

Jokaisella numerolla on ainutlaatuinen tekijäluonne. Ei ole väliä kuinka löydät tämän laajennuksen, sinun pitäisi päätyä samaan vastaukseen. Tätä kutsutaan aritmeettisen peruslauseeksi.
Sen sijaan, että kirjoittaisit alkuluvut uudelle tekijäpuun riville, voit jättää ne paikoilleen ja ympyröidä ne. Laajennuksen lopussa se sisältää kaikki ympyröidyt alkutekijät.
Tarkista aina saamasi vastaus. Voit tehdä virheen etkä huomaa sitä.
Valmistaudu vaikeisiin tehtäviin. Jos sinua pyydetään löytämään alkuluvun alkutekijä, sinun ei tarvitse tehdä laskelmia. Esimerkiksi numerolla 17 alkutekijä on 17; tätä lukua ei voida jakaa muihin alkutekijöihin.
Suurin yhteinen tekijä ja vähiten yhteinen monikerta löytyy kolmesta tai useammasta numerosta.