Sisältö

• Alustavat tiedot
• Askeleet
• Osa 1/3: Perusteet
• Osa 2/3: Laplace -muunnoksen ominaisuudet
• Osa 3/3: Laplace -muunnoksen löytäminen sarjan laajennuksen mukaan

Laplace -muunnos on kiinteä muunnos, jota käytetään ratkaisemaan differentiaaliyhtälöt vakioilla kertoimilla. Tätä muutosta käytetään laajalti fysiikassa ja tekniikassa.

Vaikka voit käyttää asianmukaisia ​​taulukoita, on hyödyllistä ymmärtää Laplace -muunnos, jotta voit tehdä sen tarvittaessa itse.

Alustavat tiedot

• Annettu toiminto ${ displaystyle f (t)}$määritelty ${ displaystyle t geq 0.}$ Sitten Laplacen muunnos toiminto ${ displaystyle f (t)}$ on kunkin arvon seuraava funktio ${ displaystyle s}$, jossa integraali lähenee:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Laplace-muunnos ottaa funktion t-alueelta (aika-asteikko) s-alueelle (muunnosalue), missä ${ displaystyle F (s)}$ on monimutkaisen muuttujan monimutkainen funktio. Sen avulla voit siirtää toiminnon alueelle, josta ratkaisu löytyy helpommin.
• Ilmeisesti Laplace -muunnos on lineaarinen operaattori, joten jos käsittelemme termien summaa, jokainen integraali voidaan laskea erikseen.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Muista, että Laplace -muunnos toimii vain, jos integraali lähenee. Jos toiminto ${ displaystyle f (t)}$ on epäjatkuvuus, on oltava varovainen ja asetettava oikeat integraation rajat epävarmuuden välttämiseksi.

Askeleet

Osa 1/3: Perusteet

1. 1 Korvaa funktio Laplace -muunnoskaavalla. Teoriassa funktion Laplace -muunnos on erittäin helppo laskea. Harkitse esimerkiksi toimintoa ${ displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, missä ${ displaystyle a}$ on monimutkainen vakio ${ displaystyle operaattorinimi {Re} (s) operaattorinimi {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 Arvioi integraali käytettävissä olevilla menetelmillä. Esimerkissämme arvio on hyvin yksinkertainen ja voit selviytyä yksinkertaisilla laskelmilla. Monimutkaisemmissa tapauksissa voidaan tarvita monimutkaisempia menetelmiä, esimerkiksi integrointi osilla tai eriyttäminen integraalimerkin alle. Rajoitettu ehto ${ displaystyle operaattorinimi {Re} (s) operaattorinimi {Re} (a)}$ tarkoittaa, että integraali lähenee, eli sen arvo on yleensä 0 as ${ displaystyle t to infty.}$
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {kohdistettu}}}$
   • Huomaa, että tämä antaa meille kahdenlaisia ​​Laplace -muunnoksia, joissa on sini ja kosini, koska Eulerin kaavan mukaan ${ displaystyle e ^ {iat}}$... Tässä tapauksessa nimittäjässä saamme ${ displaystyle s-ia,}$ ja on vain määritettävä todelliset ja kuvitteelliset osat. Voit myös arvioida tuloksen suoraan, mutta se kestää hieman kauemmin.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = operaationimi {Re} vasen ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operaationimi {Im} vasen ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 Harkitse tehofunktion Laplace -muunnosta. Ensin sinun on määritettävä tehofunktion muunnos, koska lineaarisuusominaisuuden avulla voit löytää muunnoksen kaikista polynomeja. Lomakkeen funktio ${ displaystyle t ^ {n},}$ missä ${ displaystyle n}$ - mikä tahansa positiivinen kokonaisluku. Voidaan integroida pala kappaleittain rekursiivisen säännön määrittelemiseksi.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { matemaattinen {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • Tämä tulos ilmaistaan ​​epäsuorasti, mutta jos vaihdat useita arvoja ${ displaystyle n,}$ voit luoda tietyn mallin (yritä tehdä se itse), jonka avulla voit saada seuraavan tuloksen:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • Voit myös määrittää murtotehojen Laplace -muunnoksen gamma -funktiolla. Esimerkiksi tällä tavalla voit löytää funktion, kuten ${ displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • Vaikka funktioilla, joilla on murtoteho, on oltava leikkauksia (muista, kaikki kompleksiluvut ${ displaystyle z}$ ja ${ displaystyle alpha}$ voidaan kirjoittaa muodossa ${ displaystyle z ^ { alpha}}$, koska ${ displaystyle e ^ { alpha operaattorinimi {Loki} z}}$), ne voidaan aina määritellä siten, että leikkaukset ovat vasemmassa puolitasossa ja näin vältetään analyyttiset ongelmat.

Osa 2/3: Laplace -muunnoksen ominaisuudet

1. 1 Etsitään funktion Laplace -muunnos kerrottuna eat{ displaystyle e ^ {at}}. Edellisessä osassa saatujen tulosten avulla saimme selville joitakin mielenkiintoisia Laplace -muunnoksen ominaisuuksia. Funktioiden, kuten kosinin, sinin ja eksponentiaalisen funktion, Laplace -muunnos näyttää olevan yksinkertaisempi kuin tehofunktion muunnos. Kerroin ${ displaystyle e ^ {at}}$ t-alueella vastaa siirtää s-alueella:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • Tämän ominaisuuden avulla voit heti löytää funktioiden, kuten ${ displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, ilman integraalin laskemista:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 Etsitään funktion Laplace -muunnos kerrottuna tn{ displaystyle t ^ {n}}. Harkitse ensin kertolaskua ${ displaystyle t}$... Määritelmän mukaan funktio voidaan erottaa integraalin alle ja saada yllättävän yksinkertainen tulos:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { partial} { osittainen}} e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {aligned}}}$
   • Toistamalla tämän toimenpiteen saamme lopputuloksen:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • Vaikka integraation ja eriyttämisen operaattoreiden uudelleenjärjestely vaatii lisäperusteluja, emme esitä sitä täällä, mutta huomaamme vain, että tämä toiminta on oikein, jos lopputulos on järkevä. Voit myös ottaa huomioon sen, että muuttujat ${ displaystyle s}$ ja ${ displaystyle t}$ eivät ole riippuvaisia ​​toisistaan.
   • Tämän säännön avulla on helppo löytää toimintojen, kuten ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, ilman osien yhdistämistä uudelleen:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Etsi funktion Laplace -muunnos f(at){ displaystyle f (at)}. Tämä voidaan tehdä helposti korvaamalla muuttuja u: lla muunnoksen määritelmän avulla:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F vasen ({ frac {s} {a}} oikea) end {aligned}}}$
   • Yllä löysimme toimintojen Laplace -muunnoksen ${ displaystyle sin at}$ ja ${ displaystyle cos at}$ suoraan eksponenttifunktiosta. Tämän ominaisuuden avulla voit saada saman tuloksen, jos löydät todelliset ja kuvitteelliset osat ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 Etsi derivaatan Laplace -muunnos f′(t){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. Toisin kuin aiemmat esimerkit, tässä tapauksessa täytyy integroi pala palalta:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {aligned}}}$
   • Koska toinen derivaatta esiintyy monissa fyysisissä ongelmissa, löydämme myös Laplace -muunnoksen sille:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • Yleisessä tapauksessa n: nnen kertaluvun derivaatan Laplace -muunnos määritellään seuraavasti (tämä mahdollistaa differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisen Laplace -muunnoksen avulla):
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - summa _ {k = 0} ^ {n -1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

Osa 3/3: Laplace -muunnoksen löytäminen sarjan laajennuksen mukaan

1. 1 Löydämme Laplace -muunnoksen jaksolliselle funktiolle. Jaksotoiminto täyttää ehdon ${ displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ missä ${ displaystyle T}$ on toiminnon ajanjakso, ja ${ displaystyle n}$ on positiivinen kokonaisluku. Säännöllisiä toimintoja käytetään laajalti monissa sovelluksissa, mukaan lukien signaalinkäsittely ja sähkötekniikka. Käyttämällä yksinkertaisia ​​muunnoksia saadaan seuraava tulos:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = summa _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = summa _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = summa _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { kohdistettu}}}$
   • Kuten näette, jaksollisen funktion tapauksessa riittää suorittaa Laplace -muunnos yhden jakson ajan.
2. 2 Suorita Laplace -muunnos luonnolliselle logaritmille. Tässä tapauksessa integraalia ei voida ilmaista perusfunktioiden muodossa. Gammafunktion ja sen sarjalaajennuksen avulla voit arvioida luonnollisen logaritmin ja sen asteet. Euler-Mascheronin vakion läsnäolo ${ displaystyle gamma}$ osoittaa, että tämän integraalin arvioimiseksi on käytettävä sarjalaajennusta.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 Harkitse normalisoimattoman sinc -funktion Laplace -muunnosta. Toiminto ${ displaystyle operaattorinimi {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ käytetään laajalti signaalinkäsittelyyn, differentiaaliyhtälöissä se vastaa ensimmäisen tyyppistä pallomaista Bessel -funktiota ja nollajärjestystä ${ displaystyle j_ {0} (x).}$ Tämän funktion Laplace -muunnosta ei myöskään voida laskea vakiomenetelmillä. Tässä tapauksessa suoritetaan sarjan yksittäisten jäsenten, jotka ovat tehofunktioita, muunnos, joten niiden muunnokset välttämättä lähentyvät tietyllä aikavälillä.
   • Kirjoitamme ensin funktion laajennuksen Taylor -sarjaan:
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = summa _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • Nyt käytämme jo tunnettua tehofunktion Laplace -muunnosta. Faktoriaalit peruutetaan, ja sen seurauksena saamme Taylor -laajennuksen arktangentille, eli vuorottelevalle sarjalle, joka muistuttaa Taylorin sarjaa sinille, mutta ilman kertoimia:
     • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = summa _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {aligned}}}$