Sisältö

• Askeleet
• Menetelmä 1: 3: Suoran yhtälön kaltevuuden laskeminen
• Tapa 2/3: Laske kaltevuus kahden pisteen avulla
• Menetelmä 3/3: Differentiaalilaskennan käyttäminen kaltevuuden laskemiseen

Kaltevuus kuvaa suoran kallistuskulmaa abscissa -akseliin (kaltevuus on numeerisesti yhtä suuri kuin tämän kulman tangentti). Kaltevuus on suoran yhtälössä ja sitä käytetään käyrien matemaattisessa analyysissä, jossa se on aina yhtä kuin funktion derivaatta. Jotta kaltevuus olisi helpompi ymmärtää, kuvittele, että se vaikuttaa funktion muutosnopeuteen, eli mitä suurempi kaltevuusarvo, sitä suurempi funktion arvo (riippumattoman muuttujan saman arvon osalta).

Askeleet

Menetelmä 1: 3: Suoran yhtälön kaltevuuden laskeminen

1. 1 Käytä kaltevuutta löytääksesi viivan kulman abskissiin ja sen suunnan. Kaltevuuden laskeminen on melko helppoa, jos saat suoran yhtälön. Muista, että missä tahansa suorassa yhtälössä:
   • Ei eksponentteja
   • Muuttujia on vain kaksi, joista yksikään ei ole murto -osa (esimerkiksi sellainen ${ displaystyle { frac {1} {x}}}$)
   • Suorayhtälöllä on muoto ${ displaystyle y = kx + b}$, jossa k ja b ovat numeerisia kertoimia (esimerkiksi 3, 10, -12, ${ displaystyle { frac {4} {3}}}$).
2. 2 Kaltevuuden löytämiseksi sinun on löydettävä k -arvo (kerroin "x"). Jos sinulle annettu yhtälö on muotoa ${ displaystyle y = kx + b}$, sitten löytääksesi kaltevuuden sinun tarvitsee vain katsoa "x": n edessä olevaa numeroa. Huomaa, että k (kaltevuus) on aina riippumattoman muuttujan kohdalla (tässä tapauksessa "x"). Jos olet hämmentynyt, katso seuraavat esimerkit:
   • ${ displaystyle y = 2x + 6}$
     • Kaltevuus = 2
   • ${ displaystyle y = 2-x}$
     • Kaltevuus = -1
   • ${ displaystyle y = { frac {3} {8}} x-10}$
     • Kaltevuus = ${ displaystyle { frac {3} {8}}}$
3. 3 Jos sinulle annettu yhtälö on muussa muodossa kuin y=kx+b{ displaystyle y = kx + b}, eristä riippuvainen muuttuja. Useimmissa tapauksissa riippuvainen muuttuja on merkitty "y": ksi, ja sen eristämiseksi voit suorittaa summaus-, vähennys-, kerto- ja muita toimintoja. Muista, että kaikki matemaattiset operaatiot on suoritettava yhtälön molemmin puolin (jotta alkuperäistä arvoa ei muuteta). Sinun on otettava lomakkeeseen kaikki sinulle annetut yhtälöt ${ displaystyle y = kx + b}$... Tarkastellaan esimerkkiä:
   • Etsi yhtälön kaltevuus ${ displaystyle 2y-3 = 8x + 7}$
   • Tämä yhtälö on saatettava lomakkeeseen ${ displaystyle y = kx + b}$:
     • ${ displaystyle 2y-3 (+3) = 8x+7 (+3)}$
     • ${ displaystyle 2y = 8x + 10}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {8x + 10} {2}}}$
     • ${ displaystyle y = 4x + 5}$
   • Kaltevuuden löytäminen:
     • Kaltevuus = k = 4

Tapa 2/3: Laske kaltevuus kahden pisteen avulla

1. 1 Laske kaltevuus kaavion ja kahden pisteen avulla. Jos sinulle annetaan vain funktion kuvaaja (ei yhtälöä), voit silti löytää kaltevuuden. Tätä varten tarvitset minkä tahansa kaavion kahden pisteen koordinaatit; koordinaatit korvataan kaavalla: ${ displaystyle { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}$... Välttääksesi virheitä laskettaessa kaltevuutta, muista seuraavat asiat:
   • Jos kuvaaja kasvaa, kaltevuus on positiivinen.
   • Jos kuvaaja pienenee, kaltevuus on negatiivinen.
   • Mitä korkeampi kaltevuusarvo, sitä jyrkempi kuvaaja (ja päinvastoin).
   • Abscissa -akselin suuntaisen suoran kaltevuus on 0.
   • Ordinaatin suuntaisen suoran kaltevuutta ei ole (se on ääretön).
2. 2 Etsi kahden pisteen koordinaatit. Merkitse kaavioon kaksi pistettä ja etsi niiden koordinaatit (x, y). Esimerkiksi pisteet A (2.4) ja B (6.6) ovat kaaviossa.
   • Koordinaattiparissa ensimmäinen numero vastaa "x" ja toinen "y".
   • Jokainen arvo "x" vastaa tiettyä arvoa "y".
3. 3 Vastaa x₁, y₁, x₂, y₂ vastaaviin arvoihin. Esimerkissämme pisteillä A (2,4) ja B (6,6):
   • x₁: 2
   • y₁: 4
   • x₂: 6
   • y₂: 6
4. 4 Liitä löydetyt arvot kaltevuuskaavaan. Kaltevuuden löytämiseksi käytetään kahden pisteen koordinaatteja ja seuraavaa kaavaa: ${ displaystyle { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}$... Liitä kahden pisteen koordinaatit.
   • Kaksi pistettä: A (2,4) ja B (6,6).
   • Korvaa pisteiden koordinaatit kaavaan:
     • ${ displaystyle { frac {6-4} {6-2}}}$
   • Yksinkertaista lopullinen vastaus:
     • ${ displaystyle { frac {2} {4}} = { frac {1} {2}}}$ = Kaltevuus
5. 5 Selitys kaavan olemuksesta. Kaltevuus on yhtä suuri kuin "y" -koordinaatin (kaksi pistettä) muutoksen suhde "x" -koordinaatin muutokseen (kaksi pistettä). Koordinaattimuutos on ero ensimmäisen ja toisen pisteen vastaavan koordinaatin arvojen välillä.
6. 6 Toinen kaava kaltevuuden laskemiseksi. Kaltevuuden laskemisen standardikaava on: k = ${ displaystyle { frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}}$... Mutta se voi olla seuraavassa muodossa: k = Δy / Δx, missä Δ on kreikkalainen kirjain "delta", joka merkitsee matematiikan eroa. Eli Δx = x_2 - x_1 ja Δy = y_2 - y_1.

Menetelmä 3/3: Differentiaalilaskennan käyttäminen kaltevuuden laskemiseen

1. 1 Opi ottamaan johdannaisia ​​funktioista. Johdannainen kuvaa funktion muutosnopeutta tietyssä tämän funktion kuvaajan kohdassa. Tässä tapauksessa kuvaaja voi olla joko suora tai kaareva viiva. Toisin sanoen johdannainen kuvaa funktion muutosnopeutta tiettynä ajankohtana. Muista yleiset säännöt, joilla johdannaisia ​​käytetään, ja vasta sitten siirry seuraavaan vaiheeseen.
   • Lue artikkeli Kuinka ottaa johdannainen.
   • Tässä artikkelissa kuvataan kuinka ottaa yksinkertaisimmat johdannaiset, esimerkiksi eksponentiaalisen yhtälön johdannainen. Seuraavissa vaiheissa esitetyt laskelmat perustuvat siinä kuvattuihin menetelmiin.
2. 2 Opi erottamaan tehtävät, joissa kaltevuus on laskettava funktion derivaatan perusteella. Ongelmissa ei aina ehdoteta funktion kaltevuuden tai derivaatan löytämistä. Sinua voidaan esimerkiksi pyytää löytämään funktion muutosnopeus pisteestä A (x, y). Sinua voidaan myös pyytää löytämään tangentin kaltevuus pisteestä A (x, y). Molemmissa tapauksissa on otettava funktion johdannainen.
   • Etsi esimerkiksi funktion kaltevuus ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$ kohdassa A (4.2).
   • Johdannaista merkitään usein nimellä ${ displaystyle f '(x), y',}$ tai ${ displaystyle { frac {dy} {dx}}}$
3. 3 Ota sinulle annetun funktion johdannainen. Sinun ei tarvitse piirtää kuvaajaa tähän - tarvitset vain funktion yhtälön. Esimerkissä otetaan funktion johdannainen ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$... Ota johdannainen edellä mainitussa artikkelissa kuvattujen menetelmien mukaisesti:
   • Johdannainen: ${ displaystyle f ’(x) = 4x + 6}$
4. 4 Korvaa annetun pisteen koordinaatit johdetulla derivaatalla kaltevuuden laskemiseksi. Funktion derivaatta on yhtä suuri kuin jyrkkyys tietyssä kohdassa. Toisin sanoen f '(x) on funktion kaltevuus missä tahansa kohdassa (x, f (x)). Esimerkissämme:
   • Etsi funktion kaltevuus ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$ kohdassa A (4.2).
   • Toiminnon johdannainen:
     • ${ displaystyle f ’(x) = 4x + 6}$
   • Korvaa tämän pisteen x-koordinaatin arvo:
     • ${ displaystyle f ’(x) = 4 (4) +6}$
   • Etsi rinne:
   • Toiminnon kaltevuus ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} + 6x}$ kohdassa A (4.2) on 22.
5. 5 Jos mahdollista, tarkista vastauksesi kaaviosta. Muista, että kaltevuutta ei välttämättä lasketa joka pisteessä. Differentiaalilaskenta ottaa huomioon monimutkaiset funktiot ja monimutkaiset kuvaajat, joissa kaltevuutta ei voida laskea jokaisesta pisteestä, ja joissain tapauksissa pisteet eivät ole lainkaan kaavioissa. Jos mahdollista, tarkista graafisen laskimen avulla, että kaltevuus lasketaan oikein sinulle annetulle toiminnolle.Muussa tapauksessa vedä kuvaajan tangentti annetussa kohdassa ja harkitse, vastaako löytämäsi kaltevuusarvo sitä, mitä näet kaaviossa.
   • Tangentin kaltevuus on sama kuin funktion kuvaaja tietyssä kohdassa. Voit piirtää tangentin tietyssä kohdassa siirtymällä oikealle / vasemmalle X-akselia pitkin (esimerkissämme 22 arvoa oikealle) ja sitten yhden yksikön ylöspäin Y-akselia pitkin. ja liitä se sitten annettuun kohtaan. Yhdistä esimerkissämme pisteet koordinaateilla (4,2) ja (26,3).