Sisältö

• Astua
• Osa 1/3: Analyysin perusteet
• Osa 2/3: Ymmärrä johdannaiset
• Osa 3/3: Ymmärrä integraalit
• Vinkkejä

Analyysi (kutsutaan myös laskelmaksi) on matematiikan haara, joka keskittyy rajoihin, funktioihin, johdannaisiin, integraaleihin ja äärettömiin sarjoihin. Tämä aihe kattaa paljon matematiikkaa, ja sen taustalla ovat monet fysiikassa ja mekaniikassa käytetyt kaavat ja yhtälöt. Sinun on todennäköisesti tarvinnut useita vuosia matematiikkaa lukiossa ymmärtääksesi analyysin kunnolla, mutta tämä artikkeli auttaa sinua oppimaan tunnistamaan avainkäsitteet ja ymmärtämään paremmin teoriaa.

Astua

Osa 1/3: Analyysin perusteet

1. Analyysi on tutkimus siitä, miten asiat muuttuvat. Analyysi on matematiikan osa, joka tutkii lukuja ja kuvaajia, jotka otetaan yleensä reaalimaailman tiedoista, ja selittää, kuinka ne muuttuvat. Vaikka tämä ei ehkä vaikuta aluksi kovin hyödylliseltä, analyysi on yksi matematiikan yleisimmin käytetyistä haaroista. Kuvittele, että sinulla on työkalut, jotka kertovat sinulle, kuinka nopeasti yrityksesi kasvaa kulloinkin, tai kuinka kartoittaa avaruusaluksen kulku ja kuinka nopeasti sen polttoaine kuluu loppuun. Analyysi on tärkeä tekniikan, taloustieteen, tilastojen, kemian ja fysiikan työkalu, ja se on vaikuttanut moniin keksintöihin ja löytöihin.
2. Funktiot ovat kahden numeron välisiä suhteita, ja niitä käytetään suhteiden kartoittamiseen. Ne ovat sääntöjä numeroiden väliselle suhteelle, ja matemaatikot käyttävät niitä kaavioiden tekemiseen. Funktiossa jokaisella tulolla on täsmälleen yksi tulos. Esimerkiksi: sisään ${ displaystyle y = 2x + 4,}$Ajattele äärettömyyden käsitettä. Äärettömyys on prosessin jatkuva toistaminen. Se ei ole tietty paikka (et voi mennä äärettömään), vaan pikemminkin luvun tai yhtälön käyttäytyminen, jos se tehdään ikuisesti. Tämä on tärkeää muutoksen tutkimiselle: saatat haluta tietää, kuinka nopeasti autosi liikkuu kulloinkin, mutta onko niin nopeasti, että autosi liikkuu kuluvan sekunnin aikana? Millisekuntia? Nanosekuntia? Löydät äärettömän pienet ajanpalat tarkemmaksi, ja silloin analyysi tulee.
3. Ymmärtää rajojen käsite. Raja kertoo, mitä tapahtuu, kun joku lähestyy ääretöntä. Ota numero 1 ja jaa se 2: lla. Jatka jakamalla 2 uudestaan ​​ja uudestaan. 1: stä tulee 1/2 ja sitten 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 jne. Joka kerta, kun numero pienenee ja "lähempänä" nollaa. Mutta missä se pysähtyy? Kuinka monta kertaa sinun on jaettava 1 kahdella saadaksesi nollan? Sen sijaan, että vastaat tähän kysymykseen, asetat analyysissä yhden raja Tässä tapauksessa raja on.
   • Rajat on helpoin visualisoida kaaviossa - onko esimerkiksi pisteitä, joita kaavio melkein koskettaa, mutta ei koskaan aivan?
   • Rajat voivat olla lukumääräisiä, äärettömiä tai jopa olemattomia. Esimerkiksi lisäysjärjestyksellä 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... ja tämä jatkuu loputtomiin, lopullisesta luvusta tulee äärettömän suuri. Rajasta tulee sitten ääretön.
4. Käy läpi algebran, trigonometrian ja matematiikan perusteiden olennaiset matemaattiset käsitteet. Analyysi perustuu suurelle osalle matematiikkaa, jonka olet oppinut aiemmin. Hyvin perillä kaikista aiheista on paljon helpompaa oppia ja ymmärtää analyysejä. Joitakin aiheita on:
   • Algebra. Sinun on ymmärrettävä eri prosessit ja pystyttävä ratkaisemaan yhtälöt ja yhtälöjärjestelmät useilla muuttujilla. Ymmärtää kokoelmien perusteet. Harjoittele kaavioiden tekemistä.
   • Geometria. Geometria on muotojen tutkimus. Sinulla on oltava perustiedot kolmioista, suorakulmioista ja ympyröistä sekä siitä, miten lasketaan esimerkiksi kehä ja pinta-ala. Ymmärrä kulmat, linjat ja koordinaatit
   • Trigonometria. Trigonometria on matematiikan haara, joka käsittelee ympyröiden ja suorakulmioiden ominaisuuksia. Osaa käyttää trigonometrisiä identiteettejä, kuvaajia, funktioita ja käänteisiä trigonometrisiä funktioita.
5. Osta graafinen laskin. Analyysiä ei ole helppo ymmärtää näkemättä mitä olet tekemässä. Graafiset laskimet tekevät toiminnoista visuaalisia, jotta voit paremmin ymmärtää mitä yhtälöitä olet tekemisissä. Usein rajat näytetään myös näytöllä, ja johdannaiset ja funktiot lasketaan automaattisesti.
   • Monet älypuhelimet ja tabletit tarjoavat nykyään edullisia, mutta tehokkaita piirtosovelluksia, jos et halua tai et voi ostaa piirtolaskuria.

Osa 2/3: Ymmärrä johdannaiset

1. Analyysiä käytetään "muutoksen tietyllä hetkellä" tutkimiseen. Tieto siitä, miksi jokin muuttuu tarkalla hetkellä, on analyysin ydin. Esimerkiksi analyysi antaa sinulle paitsi auton nopeuden myös sen, kuinka paljon nopeus muuttuu kulloinkin. Tämä on yksi analyysin yksinkertaisimmista käyttötavoista, mutta erittäin tärkeä. Kuvittele, kuinka tärkeää tällainen tieto on määritettäessä nopeutta, joka tarvitaan avaruusaluksen saamiseksi kuuhun!
   • Muutoksen määrittäminen tietyllä ajankohdalla on erottaa. Eriyttäminen on ensimmäinen kahdesta pääanalyysista.
2. Käytä johdannaisia ​​ymmärtämään, miten asiat muuttuvat tiettynä ajankohtana. "Johdannainen" on mukava sana jollekin, joka usein saa opiskelijat hermostumaan. Käsite itsessään ei kuitenkaan ole niin vaikea ymmärtää - se tarkoittaa vain "kuinka nopeasti jokin muuttuu". Johdannaiset, joita kohtaat eniten jokapäiväisessä elämässä, liittyvät nopeuteen. Et kuitenkaan yleensä kutsu sitä "nopeuden johdannaiseksi", vaan yksinkertaisesti "kiihtyvyydeksi".
   • Kiihtyvyys on johdannainen - se kertoo kuinka nopeasti jokin kiihtyy tai hidastuu tai kuinka sen nopeus muuttuu.
3. Tiedä, että muutosnopeus on sama kuin kahden pisteen välinen kaltevuus. Tämä on yksi tärkeimmistä analyysin löytöistä. Kahden pisteen välinen muutosnopeus on yhtä suuri kuin näiden kahden pisteen välisen viivan kaltevuus. Ajatelkaapa yksinkertaista viivaa, kuten yhtälöä ${ displaystyle y = 3x.}$Tiedä, että voit määrittää kaarevien viivojen kaltevuuden. Suoran kulman määrittäminen on suhteellisen helppoa: kuinka paljon muutoksia ${ displaystyle y}$Jos haluat laskea muutoksen tarkemmin, varmista, että pisteet ovat lähempänä toisiaan. Mitä lähempänä valitset kaksi pistettä, sitä tarkempi vastauksesi on. Oletetaan, että haluat tietää, kuinka paljon autosi kiihtyy, kun painat kaasupoljinta. Et halua mitata nopeuden muutosta talosi ja supermarketin välillä, mutta nopeuden muutosta siitä hetkestä lähtien kun painat kaasupoljinta. Mitä lähempänä lukemasi tulee sekuntien väliin, sitä tarkempi laskelma muutoksesta on.
   • Esimerkiksi tutkijat tutkivat kuinka nopeasti jotkut lajit kuolevat sukupuuttoon pelastaakseen ne. Kuitenkin enemmän eläimiä kuolee talvella kuin kesällä, joten muutosnopeuden tutkiminen koko vuoden ajan ei ole hyödyllistä - on parempi määrittää muutosnopeus pienemmässä jaksossa, kuten 1. heinäkuuta - 1. elokuuta.
4. Käytä äärettömän lyhyitä viivoja määritelläksesi "hetkellinen muutosnopeus" tai etsi johdannainen. Tässä analyysi muuttuu usein hieman hämmentäväksi, mutta tämä on oikeastaan ​​seurausta kahdesta yksinkertaisesta tosiseikasta. Ensinnäkin tiedät, että viivan kaltevuus on yhtä suuri kuin kuinka nopeasti viiva muuttuu. Toiseksi tiedät, että mitä lähempänä viivan pisteet ovat toisiinsa, sitä tarkempi lukema tulee. Mutta miten löydät muutosnopeuden tietyssä pisteessä, jos kaltevuus on kahden pisteen suhde? Vastaus: Voit valita kaksi pistettä, jotka ovat äärettömän lähellä toisiaan.
   • Harkitse esimerkkiä, jossa jaat 1 jatkuvasti 2: lla, jolloin saat 1/2, 1/4, 1/8 jne. Joten lopulta tulet lähelle nollaa, ja vastaus on "melkein nolla". Pisteet ovat niin lähellä toisiaan, että ne ovat "melkein yhtä suuria". Tämä on johdannaisten luonne.
5. Opi määrittämään erilaisia ​​johdannaisia. Johdannaisen löytämiseksi on paljon erilaisia ​​tekniikoita yhtälöstä riippuen, mutta useimmilla niistä on järkevää, jos olet muistanut yllä olevat johdannaisten perusteet. Kaikki johdannaiset ovat tapa löytää "äärettömän pienen" viivan kaltevuus. Nyt kun tiedät enemmän johdannaisteoriasta, suuri osa työstä on vastausten löytämistä.
6. Etsi johdetut yhtälöt ennustamaan muutosnopeus milloin tahansa. On hyödyllistä käyttää johdannaisia ​​muutosnopeuden määrittämiseen kulloinkin, mutta analyysin kauneus on, että voit luoda uuden mallin mille tahansa toiminnolle. Johdannainen ${ displaystyle y = x ^ {2},}$Jos sinua on vaikea ymmärtää, yritä muistaa tosielämän esimerkkejä johdannaisista. Yksinkertaisin esimerkki perustuu nopeuteen, joka käsittää paljon erilaisia ​​johdannaisia, joita kohtaamme päivittäin. Älä unohda: johdannainen on mitta siitä, kuinka nopeasti jokin muuttuu. Ajattele yksinkertaista kokeilua. Pyörität marmoria pöydälle ja mitat, kuinka pitkälle se liikkuu ja kuinka nopeasti joka kerta. Kuvittele nyt, että vierivä marmori seuraa kuvaajan viivaa - käytät johdannaisia ​​mitataksesi hetkelliset muutokset milloin tahansa tällä viivalla.
   • Kuinka nopeasti marmori liikkuu? Millä nopeudella liikkuvan marmorin sijainti (tai johdannainen) muuttuu? Kutsumme tätä johdannaista "nopeudeksi".
   • Vieritä marmoria rinne pitkin ja tarkkaile kuinka nopeus muuttuu. Mikä on marmorin nopeuden muutosnopeus tai johdannainen? Tätä johdannaista kutsutaan "kiihtyvyydeksi".
   • Vieritä marmoria aaltoilevalla radalla, kuten vuoristoradalla. Missä määrin marmori saa vauhtia, kun se vierii alas, ja missä määrin marmori hidastuu ylämäkeen? Kuinka nopeasti marmori menee tarkalleen, kun se on puolivälissä ensimmäistä mäkeä? Tämä on tuon marmorin hetkellinen muutosnopeus tai johdannainen tietyssä pisteessä.

Osa 3/3: Ymmärrä integraalit

1. Tiedä, että analyysin avulla voit etsiä monimutkaisia ​​alueita ja määriä. Analyysillä voit mitata monimutkaisia ​​muotoja, joita on muuten vaikea mitata. Harkitse esimerkiksi ongelmaa, jonka haluat tietää, kuinka paljon vettä pitkä, epäsäännöllisen muotoinen järvi sisältää - jokaista litraa vettä on mahdotonta mitata erikseen tai käyttää viivainta järven muodon mittaamiseen. Analyysin avulla voit tutkia, kuinka järven reunat muuttuvat, ja sitten käyttää näitä tietoja selvittääksesi kuinka paljon vettä se sisältää.
   • Geometristen mallien tekeminen ja volyymien tutkiminen integroida. Integroitu laskenta on toinen tärkeä analyysin haara.
2. Tiedä, että integrointi on kaavion alapuolella oleva alue. Integrointia käytetään mittaamaan viivan alapuolinen tila, jonka avulla voit määrittää outojen tai epäsäännöllisten muotojen alueen. Ota yhtälö ${ displaystyle y = 4-x ^ {2},}$Tiedä, että sinun on valittava alue integroitavaksi. Et voi yksinkertaisesti integroida koko toimintoa. Esimerkiksi, ${ displaystyle y = x}$Ajattele, kuinka suorakulmion pinta-ala lasketaan. Oletetaan, että sinulla on tasainen viiva kaavion yläpuolella, kuten ${ displaystyle y = 4.}$Tiedä, että integraalilaskennassa paljon pieniä suorakulmioita lisätään yhteen alueen alueen löytämiseksi. Kun suurennat käyrää valtavasti, se näyttää olevan suora viiva. Näet tämän joka päivä - et voi havaita maan kaarevuutta, koska olet niin lähellä maan pintaa. Integrointi luo äärettömän määrän pieniä suorakulmioita käyrän alle, jotka ovat niin pieniä, että ne ovat periaatteessa tasaisia, jolloin voit laskea ne. Kaikki nämä yhteen lisätyt suorakulmiot muodostavat käyrän alla olevan alueen.
   • Oletetaan, että lisäät paljon pieniä segmenttejä kaavion alle, ja se on kunkin segmentin leveys melkein on nolla.
3. Osaa lukea ja kirjoittaa integraalit oikein. Integraalit koostuvat 4 osasta. Tyypillinen integraali näyttää tältä:
   
   ${ displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ Lisätietoja integraalien löytämisestä. Integraatiota on monia muotoja, ja sinun on opittava paljon erilaisia ​​kaavoja kunkin toiminnon integroimiseksi. Ne kaikki noudattavat kuitenkin edellä esitettyjä periaatteita: integraatio on loputtoman monien asioiden summa.
   • Integroi korvaamalla.
   • Laske määrittelemättömät integraalit.
   • Integroi jakamalla.
4. Tiedä, että integraatio on päinvastoin eriyttämistä ja päinvastoin. Tämä on analyysin nyrkkisääntö, joka on niin tärkeä, että sille on annettu oma nimi: Integraalilaskennan pääteoreema.Koska integraatio ja eriyttäminen liittyvät niin läheisesti, näiden kahden yhdistelmää voidaan käyttää muutosnopeuden, kiihtyvyyden, nopeuden, sijainnin, liikkeen jne. Määrittämiseen riippumatta siitä, mitä tietoja sinulla on.
   • Muista esimerkiksi, että nopeuden derivaatti on kiihtyvyys, joten voit käyttää nopeutta löytääksesi kiihtyvyyden. Mutta jos tiedät vain jonkin kiihtyvyyden (kuten painovoiman vuoksi putoavat esineet), voit integroitua nopeuden palauttamiseksi!
5. Tiedä, että integroimalla voit hallita myös 3D-objektien määrää. Tasaisen muodon kiertäminen on yksi tapa luoda 3D-kiintoaineita. Kuvittele, kuinka kolikko pyörii pöydällä - huomaa, kuinka kolikko näyttää pyöriessään pallon muodon. Tämän konseptin avulla voit määrittää äänenvoimakkuuden prosessin, joka tunnetaan nimellä "äänenvoimakkuus kiertämällä".
   • Tämän avulla voit määrittää minkä tahansa kiinteän aineen tilavuuden, kunhan sinulla on sitä edustava toiminto. Voit esimerkiksi luoda toiminnon, joka seuraa järven pohjaa ja määrittää sen avulla järven tilavuuden tai kuinka paljon vettä se sisältää.

Vinkkejä

• Harjoittelu tekee meistä täydellistä, joten tee oppikirjassasi harjoituskurssit - myös ne, joita opettajasi eivät ole antaneet - ja tarkista vastauksesi auttaaksesi ymmärtämään käsitteitä paremmin.
• Jos et löydä ratkaisua, kysy opettajalta.