Sisältö

• Askeleet
• Osa 1/3: Transponoi matriisi
• Osa 2/3: Saattamisominaisuudet
• Osa 3/3: Hermitian konjugaattimatriisi monimutkaisilla elementeillä
• Vinkkejä

Jos opit siirtämään matriiseja, ymmärrät paremmin niiden rakenteen. Saatat jo tietää neliömatriiseista ja niiden symmetriasta, jotta voit hallita siirtämistä. Transponointi auttaa muun muassa muuntamaan vektorit matriisimuotoon ja löytämään vektorituotteita. Kun työskentelet monimutkaisten matriisien kanssa, Hermitian-konjugaattimatriisit (konjugaattitransponointi) voivat auttaa sinua ratkaisemaan erilaisia ​​ongelmia.

Askeleet

Osa 1/3: Transponoi matriisi

1. 1 Ota mikä tahansa matriisi. Mikä tahansa matriisi voidaan siirtää osaksi rivien ja sarakkeiden lukumäärästä riippumatta. Useimmiten on tarpeen siirtää neliömäisiä matriiseja, joilla on sama määrä rivejä ja sarakkeita, joten harkitse yksinkertaisuuden vuoksi seuraavaa matriisia esimerkkinä:
   • matriisi A =
     1  2  3
     4  5  6
     7  8  9
2. 2 Kuvittele suoran matriisin ensimmäinen rivi transponoidun matriisin ensimmäiseksi sarakkeeksi. Kirjoita vain ensimmäinen rivi sarakkeeksi:
   • transponoitu matriisi = A
   • matriisin A ensimmäinen sarake:
     1
     2
     3
3. 3 Tee sama muillekin linjoille. Alkuperäisen matriisin toisesta rivistä tulee transponoidun matriisin toinen sarake. Käännä kaikki rivit sarakkeiksi:
   • A =
     1  4  7
     2  5  8
     3  6  9
4. 4 Yritä transponoida ei-neliömatriisi. Mikä tahansa suorakulmainen matriisi voidaan transponoida samalla tavalla. Kirjoita vain ensimmäinen rivi ensimmäiseksi sarakkeeksi, toinen rivi toiseksi sarakkeeksi ja niin edelleen. Alla olevassa esimerkissä alkuperäisen matriisin jokainen rivi on merkitty omalla värillään, jotta on selkeämpää, miten se muutetaan transponoidessa:
   • matriisi Z =
     4  7  2  1
     3  9  8  6
   • matriisi Z =
     4  3
     7  9
     2  8
     1  6
5. 5 Ilmaistaan ​​osaksi kansallista lainsäädäntöä matemaattinen merkintä. Vaikka ajatus saattamisesta osaksi kansallista lainsäädäntöä on hyvin yksinkertainen, on parasta kirjoittaa se tiukasti kaavaksi. Matriisimerkinnät eivät vaadi erityisiä termejä:
   • Oletetaan, että annetaan matriisi B, joka koostuu m x n elementtejä (m riviä ja n saraketta), sitten transponoitu matriisi B on joukko n x m elementtejä (n riviä ja m saraketta).
   • Jokaiselle elementille b_xy (linja x ja sarake y) matriisin B matriisissa B on vastaava elementti b_yx (linja y ja sarake x).

Osa 2/3: Saattamisominaisuudet

1. 1 (M = M. Kaksinkertaisen transponoinnin jälkeen saadaan alkuperäinen matriisi. Tämä on melko ilmeistä, koska kun transponoit uudelleen, muutat rivejä ja sarakkeita uudelleen, jolloin tuloksena on alkuperäinen matriisi.
2. 2 Peilaa matriisi päälävistäjän ympäri. Neliömäisiä matriiseja voidaan "kääntää" suhteessa päälävistäjään. Lisäksi elementit päälävistäjää pitkin (a₁₁ matriisin oikeassa alakulmassa) pysyvät paikallaan, ja loput elementit siirtyvät tämän diagonaalin toiselle puolelle ja pysyvät samalla etäisyydellä siitä.
   • Jos sinun on vaikea kuvitella tätä menetelmää, ota paperi ja piirrä 4x4 -matriisi. Järjestä sitten sen sivuelementit suhteessa päälävistäjään. Jäljitä samalla elementit a₁₄ ja a₄₁... Kun ne on saatettu osaksi kansallista lainsäädäntöä, ne on vaihdettava kuten muut sivuelementtiparit.
3. 3 Transponoi symmetrinen matriisi. Tällaisen matriisin elementit ovat symmetrisiä päälävistäjän suhteen. Jos teet yllä olevan toimenpiteen ja "käännät" symmetrisen matriisin, se ei muutu. Kaikki elementit muuttuvat vastaaviksi. Itse asiassa tämä on tavallinen tapa määrittää, onko tietty matriisi symmetrinen. Jos yhtälö A = A pätee, matriisi A on symmetrinen.

Osa 3/3: Hermitian konjugaattimatriisi monimutkaisilla elementeillä

1. 1 Harkitse monimutkaista matriisia. Monimutkaisen matriisin elementit koostuvat todellisista ja kuvitteellisista osista. Tällainen matriisi voidaan myös transponoida, vaikka useimmissa käytännön sovelluksissa käytetään konjugaattitransponoituja tai hermiittikonjugaattimatriiseja.
   • Olkoon matriisi C =
     2+i     3-2i
     0+i     5+0i
2. 2 Korvaa elementit monimutkaisilla konjugaattiluvuilla. Monimutkaisen konjugaation toiminnassa todellinen osa pysyy samana ja kuvitteellinen osa muuttaa merkinsä päinvastaiseksi. Tehdään tämä matriisin kaikkien neljän elementin kanssa.
   • etsi kompleksinen konjugaattimatriisi C * =
     2-i     3+2i
     0-i     5-0i
3. 3 Transponoimme tuloksena olevan matriisin. Ota löydetty monimutkainen konjugaattimatriisi ja yksinkertaisesti transponoi se. Tämän seurauksena saamme konjugaatin transponoidun (hermiittikonjugaattimatriisin) matriisin.
   • konjugaatin sisällyttämä matriisi C =
     2-i        0-i
     3+2i     5-0i

Vinkkejä

• Tässä artikkelissa transponoitu matriisi suhteessa matriisiin A on merkitty A. On myös merkintä A 'tai Ã.
• Tässä artikkelissa Hermitian-konjugaattimatriisi matriisin A suhteen on merkitty A: ksi, joka on yleinen merkintä lineaarisessa algebrassa. Kvanttimekaniikassa käytetään usein merkintää A.Joskus hermiittinen konjugaattimatriisi kirjoitetaan muotoon A *, mutta on parempi välttää tämä merkintä, koska sitä käytetään myös monimutkaisen konjugaattimatriisin kirjoittamiseen.