Sisältö

• Askeleet
• Menetelmä 1/3: Kuinka ratkaista kuutiomainen yhtälö ilman vakio termiä
• Menetelmä 2/3: Kuinka löytää kokonaiset juuret kertoimien avulla
• Tapa 3/3: Kuinka ratkaista yhtälö käyttäen erottelijaa

Kuutioyhtälössä suurin eksponentti on 3, tällaisella yhtälöllä on 3 juurta (ratkaisua) ja sen muoto ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Joidenkin kuutioyhtälöiden ratkaiseminen ei ole niin helppoa, mutta jos käytät oikeaa menetelmää (jolla on hyvä teoreettinen tausta), löydät jopa monimutkaisimman kuutioyhtälön juuret - käytä tätä varten kaavaa toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi kokonaiset juuret tai laske syrjivä.

Askeleet

Menetelmä 1/3: Kuinka ratkaista kuutiomainen yhtälö ilman vakio termiä

1. 1 Selvitä, onko kuutioyhtälössä vapaata termiä d{ displaystyle d}. Kuutioyhtälöllä on muoto ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Jotta yhtälöä voidaan pitää kuutiomuotoisena, riittää, että vain termi ${ displaystyle x ^ {3}}$ (eli muita jäseniä ei välttämättä ole ollenkaan).
   • Jos yhtälöllä on vapaa termi ${ displaystyle d}$, käytä toista menetelmää.
   • Jos yhtälössä ${ displaystyle a = 0}$, se ei ole kuutiomainen.
2. 2 Ota pois suluista x{ displaystyle x}. Koska yhtälössä ei ole vapaata termiä, jokainen yhtälön termi sisältää muuttujan ${ displaystyle x}$... Tämä tarkoittaa sitä yhtä ${ displaystyle x}$ voidaan sulkeista sulkea pois yhtälön yksinkertaistamiseksi. Yhtälö kirjoitetaan siis näin: ${ displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c)}$.
   • Esimerkiksi annettu kuutioyhtälö ${ displaystyle 3x ^ {3} -2x ^ {2} + 14x = 0}$
   • Viedä ulos ${ displaystyle x}$ hakasulkeet ja hanki ${ displaystyle x (3x ^ {2} -2x + 14) = 0}$
3. 3 Kerroin (kahden binomin tulo) toisen asteen yhtälö (jos mahdollista). Monet muodon toisen asteen yhtälöt ${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$ voidaan faktorisoida. Tällainen yhtälö käy ilmi, jos otamme sen pois ${ displaystyle x}$ kannattimien ulkopuolella. Esimerkissämme:
   • Ota pois suluista ${ displaystyle x}$: ${ displaystyle x (x ^ {2} + 5x-14) = 0}$
   • Kerro toisen asteen yhtälö: ${ displaystyle x (x + 7) (x-2) = 0}$
   • Vastaa jokainen säiliö ${ displaystyle 0}$... Tämän yhtälön juuret ovat ${ displaystyle x = 0, x = -7, x = 2}$.
4. 4 Ratkaise toisen asteen yhtälö käyttämällä erityistä kaavaa. Tee tämä, jos toisen asteen yhtälöä ei voida laskea tekijäksi. Jos haluat löytää yhtälön kaksi juurta, kertoimien arvot ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ korvike kaavassa ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$.
   • Korvaa esimerkissämme kertoimien arvot ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ (${ displaystyle 3}$, ${ displaystyle -2}$, ${ displaystyle 14}$) kaavaan:

     ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

     ${ displaystyle { frac {- (- 2) pm { sqrt {((-2) ^ {2} -4 (3) (14)}}} {2 (3)}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {4- (12) (14)}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {(4-168}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {-164}}} {6}}}$

   • Ensimmäinen juuri:

     ${ displaystyle { frac {2 + { sqrt {-164}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 + 12,8i} {6}}}$

   • Toinen juuri:

     ${ displaystyle { frac {2-12,8i} {6}}}$

5. 5 Käytä nolla- ja neliöjuuria ratkaisuna kuutioyhtälöön. Toisen asteen yhtälöillä on kaksi juurta, kun taas kuutiolla on kolme. Olet jo löytänyt kaksi ratkaisua - nämä ovat toisen asteen yhtälön juuret. Jos laitat "x" sulkeiden ulkopuolelle, kolmas ratkaisu olisi ${ displaystyle 0}$.
   • Jos otat "x" pois suluista, saat ${ displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c) = 0}$eli kaksi tekijää: ${ displaystyle x}$ ja toisen asteen yhtälö suluissa. Jos jokin näistä tekijöistä on ${ displaystyle 0}$, koko yhtälö on myös yhtä suuri kuin ${ displaystyle 0}$.
   • Siten toisen asteen yhtälön kaksi juuria ovat kuutiollisen yhtälön ratkaisuja. Kolmas ratkaisu on ${ displaystyle x = 0}$.

Menetelmä 2/3: Kuinka löytää kokonaiset juuret kertoimien avulla

1. 1 Varmista, että kuutioyhtälössä on vapaa termi d{ displaystyle d}. Jos lomakkeen yhtälössä ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$ on vapaa jäsen ${ displaystyle d}$ (joka ei ole nolla), "x": n asettaminen hakasulkeiden ulkopuolelle ei toimi. Käytä tässä tapauksessa tässä osassa kuvattua menetelmää.
   • Esimerkiksi annettu kuutioyhtälö ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x = -6}$... Jos haluat saada nollaa yhtälön oikealle puolelle, lisää ${ displaystyle 6}$ yhtälön molemmille puolille.
   • Yhtälö selviää ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x + 6 = 0}$... Kuten ${ displaystyle d = 6}$, ensimmäisessä osassa kuvattua menetelmää ei voida käyttää.
2. 2 Kirjoita kertoimen tekijät muistiin a{ displaystyle a} ja vapaa jäsen d{ displaystyle d}. Eli etsi numeron tekijät osoitteesta ${ displaystyle x ^ {3}}$ ja numerot ennen yhtäläisyysmerkkiä. Muista, että luvun tekijät ovat numeroita, jotka kerrottuna tuottavat kyseisen luvun.
   • Esimerkiksi saada numero 6, sinun täytyy moninkertaistaa ${ displaystyle 6 kertaa 1}$ ja ${ displaystyle 2 kertaa 3}$... Joten numerot 1, 2, 3, 6 ovat luvun tekijöitä 6.
   • Meidän yhtälö ${ displaystyle a = 2}$ ja ${ displaystyle d = 6}$... Kertoimet 2 ovat 1 ja 2... Kertoimet 6 ovat numerot 1, 2, 3 ja 6.
3. 3 Jaa jokainen tekijä a{ displaystyle a} kullekin tekijälle d{ displaystyle d}. Tämän seurauksena saat paljon murto -osia ja useita kokonaislukuja; kuutioyhtälön juuret ovat yksi kokonaisluvuista tai yhden kokonaisluvun negatiivinen arvo.
   • Jaa esimerkissämme tekijät ${ displaystyle a}$ (1 ja 2) tekijöiden mukaan ${ displaystyle d}$ (1, 2, 3 ja 6). Sinä tulet saamaan: ${ displaystyle 1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$ ja ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$... Lisää nyt saatujen murtolukujen ja numeroiden negatiiviset arvot tähän luetteloon: ${ displaystyle 1}$, ${ displaystyle -1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$, ${ displaystyle -2}$, ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$ ja ${ displaystyle - { frac {2} {3}}}$... Kuutioyhtälön koko juuret ovat joitain numeroita tästä luettelosta.
4. 4 Liitä kokonaisluvut kuutioyhtälöön. Jos yhtälö on totta, korvaava luku on yhtälön juuri. Korvaa esimerkiksi yhtälössä ${ displaystyle 1}$:
   • ${ displaystyle 2 (1) ^ {3} +9 (1) ^ {2} +13 (1) +6}$ = ${ displaystyle 2 + 9 + 13 + 6}$ ≠ 0, eli tasa -arvoa ei noudateta. Liitä tässä tapauksessa seuraava numero.
   • Varajäsen ${ displaystyle -1}$: ${ displaystyle (-2) +9 +(- 13) +6}$ = 0. Näin ollen ${ displaystyle -1}$ on yhtälön koko juuri.
5. 5 Käytä menetelmää polynomien jakamiseksi Hornerin kaavalöytää yhtälön juuret nopeammin. Tee tämä, jos et halua korvata numeroita manuaalisesti yhtälöön. Hornerin kaaviossa kokonaisluvut jaetaan yhtälön kertoimien arvoilla ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ ja ${ displaystyle d}$... Jos luvut jakautuvat tasaisesti (eli loppuosa on ${ displaystyle 0}$), kokonaisluku on yhtälön juuri.
   • Hornerin kaava ansaitsee erillisen artikkelin, mutta seuraava on esimerkki yhden kuutioyhtälön juuren laskemisesta tällä kaavalla:

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • Loppu on siis ${ displaystyle 0}$, mutta ${ displaystyle -1}$ on yksi yhtälön juurista.

Tapa 3/3: Kuinka ratkaista yhtälö käyttäen erottelijaa

1. 1 Kirjoita yhtälön kertoimien arvot muistiin a{ displaystyle a}, b{ displaystyle b}, c{ displaystyle c} ja d{ displaystyle d}. Suosittelemme, että kirjoitat ilmoitettujen kertoimien arvot etukäteen, jotta et sekoitu tulevaisuudessa.
   • Esimerkiksi yhtälö huomioon ottaen ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$... Kirjoita ylös ${ displaystyle a = 1}$, ${ displaystyle b = -3}$, ${ displaystyle c = 3}$ ja ${ displaystyle d = -1}$... Muista, että jos ennen ${ displaystyle x}$ numeroa ei ole, vastaava kerroin on edelleen olemassa ja on yhtä suuri kuin ${ displaystyle 1}$.
2. 2 Laske nollaerottaja erityisellä kaavalla. Kuutioyhtälön ratkaisemiseksi erottimen avulla sinun on suoritettava useita vaikeita laskelmia, mutta jos teet kaikki vaiheet oikein, tämä menetelmä tulee välttämättömäksi monimutkaisimpien kuutioyhtälöiden ratkaisemiseksi. Laske ensin ${ displaystyle Delta _ {0}}$ (nollaerottaja) on ensimmäinen tarvitsemamme arvo; korvaa vastaavat arvot kaavassa ${ displaystyle Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}$.
   • Erottelija on luku, joka luonnehtii polynomin juuria (esimerkiksi toisen asteen yhtälön erottaja lasketaan kaavalla ${ displaystyle b ^ {2} -4ac}$).
   • Meidän yhtälö:

     ${ displaystyle b ^ {2} -3ac}$

     ${ displaystyle (-3) ^ {2} -3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-9 = 0 = Delta _ {0}}$

3. 3 Laske ensimmäinen erottelija kaavan avulla Δ1=2b3−9abc+27a2d{ displaystyle Delta _ {1} = 2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d}. Ensimmäinen syrjijä ${ displaystyle Delta _ {1}}$ - tämä on toinen tärkeä arvo; Laske se liittämällä vastaavat arvot määritettyyn kaavaan.
   • Meidän yhtälö:

     ${ displaystyle 2 (-3) ^ {3} -9 (1) (- 3) (3) +27 (1) ^ {2} (- 1)}$

     ${ displaystyle 2 (-27) -9 (-9) +27 (-1)}$

     ${ displaystyle -54 + 81-27}$

     ${ displaystyle 81-81 = 0 = Delta _ {1}}$

4. 4 Laskea:${ displaystyle Delta = ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div -27a ^ {2}}$... Toisin sanoen löydä kuutioyhtälön erottelija saatujen arvojen kautta ${ displaystyle Delta _ {0}}$ ja ${ displaystyle Delta _ {1}}$... Jos kuutioyhtälön erottelija on positiivinen, yhtälöllä on kolme juurta; jos erottaja on nolla, yhtälöllä on yksi tai kaksi juurta; jos erotin on negatiivinen, yhtälöllä on yksi juuri.
   • Kuutioyhtälössä on aina vähintään yksi juuri, koska tämän yhtälön kuvaaja leikkaa X-akselin ainakin yhdessä kohdassa.
   • Meidän yhtälö ${ displaystyle Delta _ {0}}$ ja ${ displaystyle Delta _ {1}}$ ovat tasa-arvoisia ${ displaystyle 0}$, joten voit helposti laskea ${ displaystyle Delta}$:

     ${ displaystyle ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div (-27a ^ {2})}$

     ${ displaystyle ((0) ^ {2} -4 (0) ^ {3}) div (-27 (1) ^ {2})}$

     ${ displaystyle 0-0 div 27}$

     ${ displaystyle 0 = Delta}$... Näin ollen yhtälöllämme on yksi tai kaksi juurta.

5. 5 Laskea:${ displaystyle C = ^ {3} { sqrt { left ({ sqrt { Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}}} + Delta _ {1 } oikea) div 2}}}$. ${ displaystyle C}$ - tämä on viimeinen tärkeä löydetty määrä; se auttaa sinua laskemaan yhtälön juuret. Korvaa arvot määritettyyn kaavaan ${ displaystyle Delta _ {1}}$ ja ${ displaystyle Delta _ {0}}$.
   • Meidän yhtälö:

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) + Delta _ {1}}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0 ^ {2} -4 (0) ^ {3}) + (0)}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0-0) +0}} div 2}}}$

     ${ displaystyle 0 = C}$

6. 6 Etsi yhtälön kolme juurta. Tee se kaavalla ${ displaystyle - (b + u ^ {n} C + Delta _ {0} div (u ^ {n} C)) div 3a}$, missä ${ displaystyle u = (- 1 + { sqrt {-3}}) div 2}$, mutta n on yhtä suuri kuin 1, 2 tai 3... Korvaa asianmukaiset arvot tähän kaavaan - tuloksena saat kolme yhtälön juurta.
   • Laske arvo käyttämällä kaavaa osoitteessa n = 1, 2 tai 3ja tarkista sitten vastaus. Jos saat 0, kun tarkistat vastauksesi, tämä arvo on yhtälön juuri.
   • Esimerkissämme korvike 1 sisään ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$ ja saada 0eli 1 on yksi yhtälön juurista.