Sisältö

• Askeleet
• Osa 1/3: Binomien faktorointi
• Osa 2/3: Binomien kertominen yhtälöiden ratkaisemiseksi
• Osa 3/3: Monimutkaisten ongelmien ratkaiseminen
• Vinkkejä
• Varoitukset

Binomi (binomi) on matemaattinen lauseke, jossa on kaksi termiä, joiden välissä on plus- tai miinusmerkki, esim. ${ displaystyle ax + b}$... Ensimmäinen jäsen sisältää muuttujan ja toinen sisältää tai ei sisällä sitä. Binomialoiden tekijä on löytää sellaisia ​​termejä, jotka kerrottuna tuottavat alkuperäisen binomiaalin sen ratkaisemiseksi tai yksinkertaistamiseksi.

Askeleet

Osa 1/3: Binomien faktorointi

1. 1 Ymmärrä factoring -prosessin perusteet. Kun binomi lasketaan, hakasulkeesta poistetaan tekijä, joka jakaa alkuperäisen binomin jokaisen termin. Esimerkiksi luku 6 on täysin jaollinen 1, 2, 3, 6. Siten luvun 6 jakajat ovat numeroita 1, 2, 3, 6.
   • Jakajat 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
   • Minkä tahansa luvun jakajat ovat 1 ja luku itse. Esimerkiksi jakajat 3 ovat 1 ja 3.
   • Kokonaislukujakajat voivat olla vain kokonaislukuja. Luku 32 voidaan jakaa 3,564: llä tai 21,4952: lla, mutta et saa kokonaislukua, vaan desimaalimurto.
2. 2 Tilaa binomiaaliehdot helpottaaksesi factoring -prosessia. Binomi on kahden termin summa tai ero, joista ainakin yksi sisältää muuttujan. Joskus muuttujia nostetaan potenssiksi, esim. ${ displaystyle x ^ {2}}$ tai ${ displaystyle 5v ^ {4}}$... On parempi järjestää binomiaaliehdot nousevaan eksponenttijärjestykseen, eli termi, jolla on pienin eksponentti, kirjoitetaan ensin ja suurin - viimeisenä. Esimerkiksi:
   • ${ displaystyle 3t + 6}$ → ${ displaystyle 6 + 3t}$
   • ${ displaystyle 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ displaystyle 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
   • ${ displaystyle x ^ {2} -2}$ → ${ displaystyle -2 + x ^ {2}}$
     • Huomaa miinusmerkki kohdan 2 edessä. Jos termi vähennetään, kirjoita sen eteen miinusmerkki.
3. 3 Etsi molempien termien suurin yhteinen jakaja (GCD). GCD on suurin luku, jolla binomiaalin molemmat jäsenet jakautuvat. Voit tehdä tämän etsimällä kunkin termin jakajat binomiaalista ja valitsemalla sitten suurimman yhteisen jakajan. Esimerkiksi:
   • Tehtävä:${ displaystyle 3t + 6}$.
     • Jakajat 3: 1, 3
     • Jakajat 6: 1, 2, 3, 6.
     • GCD = 3.
4. 4 Jaa jokainen termi binomiaalissa suurimmalla yhteisellä jakajalla (GCD). Tee tämä erottaaksesi GCD: n. Huomaa, että binomiaalin jokainen jäsen pienenee (koska se on jaollinen), mutta jos GCD suljetaan suluista pois, lopullinen lauseke on sama kuin alkuperäinen.
   • Tehtävä:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Etsi GCD: 3
   • Jaa jokainen binomitermi gcd: llä:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5. 5 Siirrä jakaja pois suluista. Aiemmin jaoit binomiaalin molemmat ehdot jakajalla 3 ja sait ${ displaystyle t + 2}$... Mutta et voi päästä eroon kolmesta - jotta alku- ja loppulausekkeiden arvot olisivat samat, sinun on laitettava 3 sulkujen ulkopuolelle ja kirjoitettava jaon tuloksena saatu lauseke sulkeisiin. Esimerkiksi:
   • Tehtävä:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Etsi GCD: 3
   • Jaa jokainen binomitermi gcd: llä:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
   • Kerro jakaja tuloksena olevalla lausekkeella:${ displaystyle 3 (t + 2)}$
   • Vastaus: ${ displaystyle 3 (t + 2)}$
6. 6 Tarkista vastauksesi. Tätä varten kerro hakasulkuja edeltävä termi kullakin suluissa olevalla termillä. Jos saat alkuperäisen binomiaalin, ratkaisu on oikea. Ratkaise nyt ongelma ${ displaystyle 12t + 18}$:
   • Tilaa jäsenet:${ displaystyle 18 + 12t}$
   • Etsi GCD:${ displaystyle 6}$
   • Jaa jokainen binomitermi gcd: llä:${ displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
   • Kerro jakaja tuloksena olevalla lausekkeella:${ displaystyle 6 (3 + 2t)}$
   • Tarkista vastaus:${ displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

Osa 2/3: Binomien kertominen yhtälöiden ratkaisemiseksi

1. 1 Kerro binomi yksinkertaistaaksesi sitä ja ratkaistaksesi yhtälön. Ensi silmäyksellä näyttää mahdottomalta ratkaista joitakin yhtälöitä (varsinkin monimutkaisilla binomeilla). Ratkaise esimerkiksi yhtälö ${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$... Tässä yhtälössä on voimia, joten huomioi lauseke ensin.
   • Tehtävä:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Muista, että binomiolla on kaksi jäsentä. Jos lauseke sisältää enemmän termejä, opi ratkaisemaan polynomeja.
2. 2 Lisää tai vähennä joitakin monomeereja yhtälön molemmille puolille niin, että nolla jää yhtälön toiselle puolelle. Faktoroinnin tapauksessa yhtälöiden ratkaisu perustuu muuttumattomaan tosiasiaan, että mikä tahansa lauseke kerrottuna nollalla on nolla. Siksi, jos rinnastamme yhtälön nollaan, minkä tahansa sen tekijän on oltava nolla. Aseta yhtälön toinen puoli arvoon 0.
   • Tehtävä:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Aseta nollaan:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}$
     • ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3. 3 Kerro tuloksena oleva säiliö. Tee tämä edellisessä osassa kuvatulla tavalla. Etsi suurin yhteinen tekijä (GCD), jaa binomiaalin molemmat termit sillä ja siirrä sitten tekijä pois suluista.
   • Tehtävä:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Aseta nollaan:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
   • Tekijä:${ displaystyle 2v (4-v) = 0}$
4. 4 Aseta jokainen tekijä nollaksi. Tuloksena olevassa lausekkeessa 2y kerrotaan 4 - y: llä ja tämä tuote on nolla. Koska mikä tahansa lauseke (tai termi) kerrottuna nollalla on nolla, silloin 2y tai 4 - y on 0. Aseta tuloksena oleva monomi- ja binomi -arvo nollaan löytääksesi "y".
   • Tehtävä:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Aseta nollaan:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
   • Tekijä:${ displaystyle 2v (4-v) = 0}$
   • Aseta molemmat tekijät arvoon 0:
     • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y = 0}$
5. 5 Ratkaise tuloksena olevat yhtälöt löytääksesi lopullisen vastauksen (tai vastaukset). Koska jokainen tekijä vastaa nollaa, yhtälöllä voi olla useita ratkaisuja. Esimerkissämme:
   • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
     • y = 0
   • ${ displaystyle 4-y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
     • y = 4
6. 6 Tarkista vastauksesi. Voit tehdä tämän korvaamalla löydetyt arvot alkuperäiseen yhtälöön. Jos tasa -arvo on totta, päätös on oikea. Korvaa löydetyt arvot "y": n sijasta. Esimerkissämme y = 0 ja y = 4:
   • ${ displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}$
     • ${ displaystyle 0 + 0 = 0}$
     • ${ displaystyle 0 = 0}$Tämä on oikea päätös
   • ${ displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}$
     • ${ displaystyle 20-32 = -12}$
     • ${ displaystyle -12 = -12}$Ja tämä on oikea päätös

Osa 3/3: Monimutkaisten ongelmien ratkaiseminen

1. 1 Muista, että muuttujan sisältävä termi voidaan myös tekijäyttää, vaikka muuttuja nostettaisiin potenssiin. Faktoroinnissa sinun on löydettävä monomi, joka jakaa binomiaalisen osan jokaisen osan kiinteästi. Esimerkiksi monomi ${ displaystyle x ^ {4}}$ voidaan faktorisoida ${ displaystyle x * x * x * x}$... Toisin sanoen, jos binomiaalin toinen termi sisältää myös muuttujan "x", "x" voidaan ottaa pois suluista. Käsittele muuttujia siis kokonaislukuna. Esimerkiksi:
   • Molemmat binomialin jäsenet ${ displaystyle 2t + t ^ {2}}$ sisältää "t", joten "t" voidaan poistaa suluista: ${ displaystyle t (2 + t)}$
   • Lisäksi tehosta nostettu muuttuja voidaan ottaa ulos kannattimesta. Esimerkiksi molemmat binomialin jäsenet ${ displaystyle x ^ {2} + x ^ {4}}$ sisältää ${ displaystyle x ^ {2}}$, niin ${ displaystyle x ^ {2}}$ voidaan irrottaa telineestä: ${ displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2. 2 Lisää tai vähennä vastaavia termejä saadaksesi binomi. Esimerkiksi, kun otetaan huomioon ilmaisu ${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$... Ensi silmäyksellä tämä on polynomi, mutta itse asiassa tämä lauseke voidaan muuntaa binomiksi. Lisää samanlaisia ​​termejä: 6 ja 14 (eivät sisällä muuttujaa) ja 2x ja 3x (sisältävät saman muuttujan "x"). Tässä tapauksessa factoring -prosessia yksinkertaistetaan:
   • Alkuperäinen ilmaisu:${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$
   • Tilaa jäsenet:${ displaystyle 2x + 3x + 14 + 6}$
   • Lisää vastaavia termejä:${ displaystyle 5x + 20}$
   • Etsi GCD:${ displaystyle 5 (x) +5 (4)}$
   • Tekijä:${ displaystyle 5 (x + 4)}$
3. 3 Kerro täydellisten neliöiden ero. Täydellinen neliö on luku, jonka neliöjuuri on esimerkiksi kokonaisluku ${ displaystyle 9}$${ displaystyle (3 * 3)}$, ${ displaystyle x ^ {2}}$${ displaystyle (x * x)}$ ja jopa ${ displaystyle 144t ^ {2}}$${ displaystyle (12t * 12t)}$... Jos binomi on täydellisten neliöiden ero, esim. ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$, sitten se faktorisoidaan kaavalla:
   • Neliöiden kaavan ero:${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a -b)}$
   • Tehtävä:${ displaystyle 4x ^ {2} -9}$
   • Pura neliöjuuret:
     • ${ displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
   • Korvaa löydetyt arvot kaavalla: ${ displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x -3)}$
4. 4 Kerro ero kokonaisten kuutioiden välillä. Jos binomi on kokonaisten kuutioiden ero, esim. ${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}$, sitten se faktorisoidaan käyttämällä erityistä kaavaa. Tässä tapauksessa on tarpeen poimia kuutiojuuri jokaisesta binomiaalin jäsenestä ja korvata löydetyt arvot kaavaan.
   • Kaava kuutioiden väliselle erotukselle:${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a -b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
   • Tehtävä:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Pura kuutiojuuret:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Korvaa löydetyt arvot kaavalla: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x -3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5. 5 Kerro kokonaisten kuutioiden summa. Toisin kuin täydellisten neliöiden summa, kokonaisten kuutioiden summa, esim. ${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}$, voidaan tekijoittaa käyttämällä erityistä kaavaa. Se on samanlainen kuin kaava kuutioiden välillä, mutta merkit ovat päinvastaisia. Kaava on melko yksinkertainen - käytä sitä etsimällä tehtävän kokonaisten kuutioiden summa.
   • Kuutioiden summan kaava:${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
   • Tehtävä:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Pura kuutiojuuret:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Korvaa löydetyt arvot kaavalla: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

Vinkkejä

• Joskus binomial jäsenillä ei ole yhteistä jakajaa. Joissakin tehtävissä jäsenet esitetään yksinkertaistetussa muodossa.
• Jos et löydä GCD: tä heti, aloita jakamalla pienillä numeroilla. Jos esimerkiksi et näe, että numeroiden 32 ja 16 GCD on 16, jaa molemmat numerot kahdella. Saat 16 ja 8; nämä luvut voidaan jakaa kahdeksalla. Nyt saat 2 ja 1; näitä lukuja ei voi vähentää. Näin ollen on selvää, että on suurempi luku (verrattuna 8 ja 2), joka on kahden annetun luvun yhteinen jakaja.
• Huomaa, että kuudennen kertaluvun termit (eksponentti 6, esimerkiksi x) ovat sekä täydellisiä neliöitä että täydellisiä kuutioita. Siten binomeihin, joilla on kuudennen kertaluvun termit, esimerkiksi x - 64, voidaan soveltaa (missä tahansa järjestyksessä) kaavoja neliöiden ja kuutioiden erolle. Mutta on parempi käyttää ensin kaavaa neliöiden erotukselle, jotta se hajoaisi oikein binomiaalilla.

Varoitukset

• Binomia, joka on täydellisten neliöiden summa, ei voida laskea tekijäksi.