Sisältö

• Askeleet
• Vinkkejä

Rationaalifunktion muoto on y = N (x) / D (x), missä N ja D ovat polynomeja. Jotta voit piirtää tällaisen funktion tarkasti, tarvitset hyvän algebran tuntemuksen, mukaan lukien differentiaalilaskut. Harkitse seuraavaa esimerkkiä: y = (2x - 6x + 5)/(4x + 2).

Askeleet

1. 1 Etsi kaavion y-leikkaus. Voit tehdä tämän korvaamalla funktion x = 0 ja saamalla y = 5/2. Siten kaavion ja Y -akselin leikkauspisteellä on koordinaatit (0, 5/2).Aseta tämä piste koordinaattitasolle.
2. 2 Etsi vaakasuuntaiset asymptootit. Jaa lukija nimittäjällä (sarakkeessa) määrittääksesi "y": n käyttäytymisen "x": n arvoilla, jotka pyrkivät äärettömyyteen. Esimerkissämme jako on y = (1/2)x - (7/4) + 17/(8x + 4). Suuret positiiviset tai negatiiviset arvot "x" 17 / (8x + 4) pyrkii nollaan ja kuvaaja lähestyy funktion antamaa suoraa y = (1/2)x - (7/4). Piirrä tämä funktio pisteviivalla.
   • Jos osoittimen aste on pienempi kuin nimittäjän aste, et voi jakaa osoitinta nimittäjällä ja asymptoottia kuvataan funktiolla klo = 0.
   • Jos osoittimen aste on yhtä suuri kuin nimittäjän aste, asymptootti on vaakasuora viiva, joka on yhtä suuri kuin kertoimien suhde korkeimmalla asteella "x".
   • Jos osoittimen aste on 1 enemmän kuin nimittäjän aste, asymptootti on kalteva suora viiva, jonka kaltevuus on yhtä suuri kuin "x" -kertoimien suhde korkeimpaan asteeseen.
   • Jos osoittimen aste on suurempi kuin nimittäjän aste 2, 3 jne., Niin suurille arvoille |NS| merkitys klo taipumus äärettömyyteen (positiivinen tai negatiivinen) neliön, kuutiomuodon tai muun polynomin asteen muodossa. Tässä tapauksessa todennäköisimmin sinun ei tarvitse rakentaa tarkkaa kuvaajaa funktiosta, joka saadaan jakamalla lukija nimittäjällä.
3. 3 Etsi funktion nollat. Järkevällä funktiolla on nollia, kun sen osoittaja on nolla, eli N (NS) = 0. Esimerkissämme 2x - 6x + 5 = 0. Tämän toisen yhtälön erottaja: b - 4ac = 6-4 * 2 * 5 = 36-40 = -4. Koska erottelija on negatiivinen, N (NS) ja siten F (NS) ei ole todellisia juuria. Järkevän funktion kuvaaja ei leikkaa X-akselia. Jos funktiolla on nollia (juuret), laita ne koordinaattitasolle.
4. 4 Etsi pystysuorat asymptootit. Aseta tämä nimittäjä nollaan. Esimerkissämme 4x + 2 = 0 ja NS = -1/2. Piirrä pystysuora asymptootti katkoviivalla. Jos jostain arvosta NS N (NS) = 0 ja D (NS) = 0, sitten pystysuora asymptootti joko on tai ei ole (tämä on harvinainen tapaus, mutta on parempi muistaa se).
5. 5 Katso loput osoittimesta jaettuna nimittäjällä. Onko se positiivinen, negatiivinen vai nolla? Esimerkissämme loppuosa on 17, mikä on positiivista. Nimittäjä 4x + 2 positiivista pystysuoran asymptootin oikealla puolella ja negatiivinen sen vasemmalla puolella. Tämä tarkoittaa, että suurten positiivisten arvojen järkevän funktion kuvaaja NS lähestyy asymptoottia ylhäältä ja suuria negatiivisia arvoja NS - alhaalta. Vuodesta 17 / (8x + 4) ei ole koskaan yhtä suuri kuin nolla, tämän funktion kuvaaja ei koskaan leikkaa funktion määrittämää suoraa klo = (1/2)NS - (7/4).
6. 6 Etsi paikallinen ääripää. N: lle on olemassa paikallinen ääripääx) D (x) - N (x) D '(x) = 0. Esimerkissämme N '(x) = 4x - 6 ja D '(x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D '(x) = (4x - 6)(4x + 2) - (2x - 6x + 5)*4 = x + x - 4 = 0. Kun ratkaiset tämän yhtälön, huomaat sen x = 3/2 ja x = -5/2. (Nämä eivät ole täysin tarkkoja arvoja, mutta ne soveltuvat tapaukseemme, kun ylitarkkuutta ei tarvita.)
7. 7 Etsi arvo klo jokaiselle paikalliselle ääripäälle. Voit tehdä tämän korvaamalla arvot NS alkuperäiseen rationaalitoimintoon. Esimerkissämme f (3/2) = 1/16 ja f (-5/2) = -65/16. Aseta pisteet (3/2, 1/16) ja (-5/2, -65/16) koordinaattitasolle. Koska laskelmat perustuvat likimääräisiin arvoihin (edellisestä vaiheesta), löydetty minimi- ja maksimiarvo eivät myöskään ole täysin tarkkoja (mutta todennäköisesti hyvin lähellä tarkkoja arvoja). (Piste (3/2, 1/16) on hyvin lähellä paikallista minimimäärää. Tiedämme sen vaiheesta 3 alkaen klo aina positiivinen NS> -1/2, ja löysimme pienen arvon (1/16); joten virhearvo on tässä tapauksessa erittäin pieni.)
8. 8 Yhdistä odottavat pisteet ja laajenna kuvaaja tasaisesti asymptootteihin (älä unohda kaavion oikeaa suuntaa, joka lähestyy asymptoteja). Muista, että kaavio ei saa ylittää X-akselia (katso vaihe 3). Kaavio ei myöskään leikkaa vaaka- ja pystysuuntaisia ​​asymptootteja (katso vaihe 5). Älä muuta kaavion suuntaa paitsi edellisessä vaiheessa löydetyissä ääripisteissä.

Vinkkejä

• Jos olet noudattanut yllä olevia vaiheita tiukasti järjestyksessä, sinun ei tarvitse laskea toista johdannaista (tai vastaavaa kompleksimäärää) testataksesi ratkaisua.
• Jos sinun ei tarvitse laskea suureiden arvoja, voit korvata paikallisten ääripisteiden laskemisen laskemalla joitain muita koordinaattiparia (NS, klo) jokaisen asymptoottiparin välillä. Lisäksi jos et välitä kuvatun menetelmän toiminnasta, älä ihmettele, miksi et löydä johdannaista ja ratkaise yhtälöä N '(x) D (x) - N (x) D '(x) = 0.
• Joissakin tapauksissa sinun on työskenneltävä korkeamman asteen polynomeilla. Jos et löydä tarkkaa ratkaisua käyttämällä tekijöitä, kaavoja jne., Arvioi mahdolliset ratkaisut numeerisilla menetelmillä, kuten Newtonin menetelmällä.
• Harvoissa tapauksissa osoittaja ja nimittäjä jakavat yhteisen muuttujan. Kuvattujen vaiheiden mukaan tämä johtaa nollaan ja pystysuoraan asymptoottiin samassa paikassa. Tämä ei kuitenkaan ole mahdollista, ja selitys on yksi seuraavista:
  • Nolla N: ssä (NS) on suurempi kerrannaisuus kuin nolla D: ssä (NS). Kaavio F (NS) on yleensä nolla tässä vaiheessa, mutta sitä ei ole määritelty siellä. Osoita tämä piirtämällä ympyrä pisteen ympärille.
  • Nolla N: ssä (NS) ja nolla D: ssä (NS) on sama moninaisuus. Kaavio lähestyy jotakin nollasta poikkeavaa pistettä tässä arvossa NSmutta ei määritelty siinä. Osoita tämä piirtämällä ympyrä pisteen ympärille.
  • Nolla N: ssä (NS) on pienempi kerroin kuin nolla D: ssä (NS). Tässä on pystysuora asymptootti.