Sisältö

• Astua
• Alku
• Menetelmä 1/6: Kokeilu ja virhe
• Menetelmä 2/6: Hajoaminen
• Tapa 3/6: Kolmoispeli
• Menetelmä 4/6: Kahden neliön ero
• Menetelmä 5/6: ABC-kaava
• Menetelmä 6/6: Laskimen käyttö
• Vinkkejä
• Varoitukset
• Tarpeet

Polynomi sisältää muuttujan (x) tietylle voimalle ja useita termejä ja / tai vakioita. Polynomin huomioon ottamiseksi sinun on jaettava lauseke pienempiin lausekkeisiin, jotka kerrotaan yhdessä. Tämä vaatii tietyn matematiikan tason ja voi siksi olla vaikea ymmärtää, jos et ole vielä niin kaukana.

Astua

Alku

1. Yhtälö. Neliöllisen yhtälön vakiomuoto on:
   
   ax + bx + c = 0
   Aloita järjestämällä yhtälön ehdot korkeimmasta pienimpään. Ota esimerkiksi:
   
   6 + 6x + 13x = 0
   Järjestämme tämän lausekkeen uudelleen, jotta sen kanssa työskenteleminen on helpompaa - yksinkertaisesti siirtämällä termejä:
   
   6x + 13x + 6 = 0
2. Etsi tekijät jollakin alla olevista menetelmistä. Polynomin huomioon ottaminen johtaa kahteen pienempään lausekkeeseen, jotka voidaan kertoa yhteen alkuperäisen polynomin saamiseksi:
   
   6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
   Tässä esimerkissä (2x +3) ja (3x + 2) ovat tekijät alkuperäisestä lausekkeesta, 6x + 13x + 6.
3. Tarkista työsi! Kerro löytämäsi tekijät. Yhdistä samat ehdot ja olet valmis. Aloita:
   
   (2x + 3) (3x + 2)
   Testataan tämä kertomalla termit EBBL: llä (ensimmäinen - ulompi - sisempi - viimeinen), mikä antaa meille:
   
   6x + 4x + 9x + 6
   Nyt lisätään 4x ja 9x yhteen, koska ne ovat yhtäläiset ehdot. Tiedämme, että tekijät ovat oikeita, koska saamme takaisin yhtälön, josta aloitimme:
   
   6x + 13x + 6

Menetelmä 1/6: Kokeilu ja virhe

Jos sinulla on melko yksinkertainen polynomi, saatat pystyä näkemään, mitkä tekijät ovat heti. Esimerkiksi jonkin matkan jälkeen monet matemaatikot pystyvät näkemään lausekkeen 4x + 4x + 1 on tekijät (2x + 1) ja (2x + 1) yksinkertaisesti siksi, että he ovat nähneet tämän niin monta kertaa. (Tämä ei tietenkään ole niin helppoa monimutkaisempien polynomien kanssa.) Otetaan vähemmän vakiolauseke tälle esimerkille:

3x + 2x - 8

1. Kirjoita muistiin tekijät a termi ja c termi. Käytä muotoa ax + bx + c = 0, tunnista a ja c termit ja huomioi tekijät. 3x + 2x - 8: lle tämä tarkoittaa:
   
   a = 3 ja siinä on 1 tekijäpari: 1 * 3
   c = -8 ja tässä on 4 tekijäparia: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 ja -1 * 8.
2. Kirjoita kaksi sulkeiden paria tyhjään tilaan. Tässä syötetään kunkin lausekkeen vakiot:
   
   (x) (x)
3. Täytä x: n edessä oleva tila useilla mahdollisilla tekijöillä a arvo. Varten a esimerkissä termi 3x, on vain yksi mahdollisuus:
   
   (3x) (1x)
4. Täytä 2 välilyöntiä x: n jälkeen muutamalla tekijällä vakioille. Oletetaan, että valitsemme 8 ja 1. Syötä tämä:
   
   (3x8) (X1)
5. Määritä, minkä merkkien (plus tai miinus) tulisi olla x muuttujan ja luvun välillä. Alkuperäisen lausekkeen merkkien mukaan on mahdollista selvittää, mitä vakioiden merkkien tulisi olla. Otetaan kahden tekijän kaksi vakiota h ja k mainita:
   
   Jos ax + bx + c, sitten (x + h) (x + k)
   Jos ax - bx - c tai ax + bx - c, sitten (x - h) (x + k)
   Jos kirves - bx + c, sitten (x - h) (x - k)
   Esimerkissämme, 3x + 2x - 8, merkki on: (x - h) (x + k), mikä antaa meille seuraavat kaksi tekijää:
   
   (3x + 8) ja (x - 1)
6. Testaa valintasi ensimmäisellä-ulommalla-sisäisellä-viimeisellä kertoimella. Nopea ensimmäinen testi nähdäksesi onko keskiarvo vähintään oikea arvo. Jos ei, niin sinulla on todennäköisesti väärä c valitut tekijät. Testataan vastaus:
   
   (3x + 8) (x - 1)
   Kertomalla saadaan:
   
   3x - 3x + 8x - 8
   Yksinkertaista tätä lauseketta lisäämällä samankaltaiset termit (-3x) ja (8x), niin saat:
   
   3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
   Tiedämme nyt, että otimme väärät tekijät:
   
   3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
7. Vaihda valintojasi tarvittaessa. Kokeillaan esimerkissämme 2 ja 4 sijasta 1 ja 8:
   
   (3x + 2) (x - 4)
   Nyt meidän c termi on -8, mutta (3x * -4) ja (2 * x) ulompi / sisempi tulo on -12x ja 2x, mikä ei ole oikea b aikavälillä tai + 2x.
   
   -12x + 2x = 10x
   10x ≠ 2x
8. Käännä järjestys tarvittaessa. Yritetään kääntää 2 ja 4:
   
   (3x + 4) (x - 2)
   Nyt meidän c termi (4 * 2 = 8) ja silti kunnossa, mutta ulompi / sisempi tuote on -6x ja 4x. Kun yhdistämme nämä, saamme:
   
   -6x + 4x = 2x
   2x ≠ -2x Olemme nyt menossa melko lähelle 2x, missä haluamme olla, mutta merkki ei ole vielä oikea.
9. Tarkista hahmosi tarvittaessa. Pidämme tämän järjestyksen, mutta vaihdamme sen miinusmerkillä:
   
   (3x - 4) (x + 2)
   Nyt c termi on edelleen kunnossa, ja ulkoiset / sisäiset tuotteet ovat nyt (6x) ja (-4x). Koska:
   
   6x - 4x = 2x
   2x = 2x Näemme nyt positiivisen 2x takaisin alkuperäisestä ongelmasta. Näiden on oltava oikeita tekijöitä.

Menetelmä 2/6: Hajoaminen

Tämä menetelmä antaa kaikki mahdolliset tekijät siihen a ja c termejä ja käyttää niitä selvittääkseen oikeat tekijät. Jos luvut ovat hyvin suuria tai muiden menetelmien arvailu vie liian kauan, käytä tätä tapaa. Esimerkki:

6x + 13x + 6

1. Kerro a aikavälillä c termi. Tässä esimerkissä a on 6 ja c on myös 6.
   
   6 * 6 = 36
2. Etsi b aikavälillä jakamalla ja testaamalla. Etsimme kahta numeroa, jotka ovat tekijöitä a * c ja yhdessä b termi (13).
   
   4 * 9 = 36
   4 + 9 = 13
3. Korvaa yhtälösi saamasi kaksi numeroa summana b termi. Katsotaanpa k ja h edustamaan 2 numeroa, 4 ja 9:
   
   kirves + kx + hx + c
   6x + 4x + 9x + 6
4. Kerro polynomi ryhmittelemällä. Järjestä yhtälö siten, että voit erottaa kahden ensimmäisen ja kahden viimeisen termin suurimman yhteisen jakajan. Molempien tekijöiden tulisi olla samat. Lisää GGD: t yhteen ja aseta ne suluihin tekijöiden viereen; seurauksena saat kaksi tekijää:
   
   6x + 4x + 9x + 6
   2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
   (2x + 3) (3x + 2)

Tapa 3/6: Kolmoispeli

Samanlainen hajoamismenetelmä. "Kolmoispeli" -menetelmä tutkii tuotteen tulon mahdollisia tekijöitä a ja c ja käytä sitä selvittääksesi mitä b täytyy olla. Ota yhtälö esimerkkinä:

8x + 10x + 2

1. Kerro a aikavälillä c termi. Kuten hajoamismenetelmässä, käytämme tätä määritettäessä b termi. Tässä esimerkissä: a on 8 ja c on 2.
   
   8 * 2 = 16
2. Etsi 2 numeroa, joilla on tämä luku tuotteena ja joiden summa on yhtä suuri kuin b termi. Tämä vaihe on sama kuin hajotusmenetelmä - testataan ehdokkaita vakioille. Tuote a ja c termi on 16, ja c termi on 10:
   
   2 * 8 = 16
   8 + 2 = 10
3. Ota nämä 2 numeroa ja korvaa ne "triple play" -kaavassa. Ota 2 numeroa edellisestä vaiheesta - haetaan ne h ja k kutsu heitä - ja laita ne lausekkeeseen:
   
   ((ax + h) (ax + k)) / a
   
   Tämän avulla saamme:
   
   ((8x + 8) (8x + 2)) / 8
4. Katso, mitkä nimittäjän kahdesta termistä voidaan jakaa täysin a. Tässä esimerkissä tarkastelemme, voidaanko (8x + 8) vai (8x + 2) jakaa 8: lla. (8x + 8) jaetaan 8: lla, joten jaamme tämän termin a ja jätämme muut koskemattomiksi.
   
   (8x + 8) = 8 (x + 1)
   Termi, jonka olemme pitäneet täällä, on se, joka jää sen jälkeen, kun olemme jakaneet sen a termi: (x + 1)
5. Ota suurin yhteinen jakaja (gcd) jostakin tai molemmista termeistä, jos mahdollista. Tässä esimerkissä näemme, että toisella termillä on gcd 2, koska 8x + 2 = 2 (4x + 1). Yhdistä tämä vastaus termiin, jonka löysit edellisessä vaiheessa. Nämä ovat vertailusi tekijät.
   
   2 (x + 1) (4x + 1)

Menetelmä 4/6: Kahden neliön ero

Jotkin polynomin kertoimet voidaan tunnistaa "neliöinä" tai myös kahden identtisen luvun tulona. Selvittämällä mitkä neliöt ovat, voit pystyä laskemaan polynomit paljon nopeammin. Otetaan yhtälö:

27x - 12 = 0

1. Poista gcd yhtälöstä, jos mahdollista. Tässä tapauksessa näemme, että 27 ja 12 ovat molemmat jaettavissa 3: lla, joten voimme sijoittaa ne erikseen:
   
   27x - 12 = 3 (9x - 4)
2. Selvitä, ovatko yhtälön kertoimet neliöitä. Tämän menetelmän käyttämiseksi on määritettävä termien juuret. (Huomaa, että olemme jättäneet pois miinusmerkit - koska nämä luvut ovat neliöitä, ne voivat olla kahden negatiivisen luvun tuloja)
   
   9x = 3x * 3x ja 4 = 2 * 2
3. Käyttämällä määrittämääsi neliöjuuria voit nyt kirjoittaa tekijät. Otamme a ja c edellisen vaiheen arvot: a = 9 ja c = 4, joten juuret ovat: - √a = 3 ja √c = 2. Nämä ovat kertoimet jaoteltuihin lausekkeisiin:
   
   27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Menetelmä 5/6: ABC-kaava

Jos mikään ei tunnu toimivan ja et voi ratkaista yhtälöä, käytä abc-kaavaa. Ota seuraava esimerkki:

x + 4x + 1 = 0

1. Syötä vastaavat arvot abc-kaavaan:
   
   x = -b ± √ (b - 4ac)
         ---------------------
   2a
   Saamme nyt lausekkeen:
   
   x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
2. Ratkaise x. Sinun pitäisi nyt saada kaksi arvoa x: lle. Nämä ovat:
   
   
   x = -2 + √ (3) tai x = -2 - √ (3)
3. Käytä tekijöitä x: n arvojen avulla. Syötä saatuihin x-arvoihin yhtälöinä vakiot. Nämä ovat tekijöitäsi. Jos vastaamme kahteen h ja k kirjoitamme nämä kaksi tekijää ylöspäin seuraavasti:
   
   (x - h) (x - k)
   Tässä tapauksessa lopullinen vastaus on:
   
   (x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Menetelmä 6/6: Laskimen käyttö

Jos graafisen laskimen käyttö on sallittua (tai pakollista), se tekee factoringin paljon helpommaksi, etenkin kokeissa ja kokeissa. Seuraavat ohjeet koskevat TI-graafista laskinta. Käytämme esimerkin yhtälöä:

y = x - x - 2

1. Syötä yhtälö laskimeesi. Käytät yhtälöratkaisijaa, joka tunnetaan myös nimellä [Y =] -näyttö.
2. Piirrä yhtälö laskimella. Kun olet syöttänyt yhtälön, paina [GRAPH] - sinun pitäisi nyt nähdä kaareva viiva, paraboli yhtälön graafisena esityksenä (ja se on parabola, koska kyseessä on polynomi).
3. Etsi, missä paraabeli leikkaa x-akselin. Koska toisen asteen yhtälö kirjoitetaan perinteisesti nimellä ax + bx + c = 0, nämä ovat kaksi x-arvoa, jotka tekevät yhtälöstä nollan:
   
   (-1, 0), (2 , 0)
   x = -1, x = 2
   • Jos et näe, missä paraboli leikkaa x-akselia, paina [2nd] ja sitten [TRACE]. Paina [2] tai valitse "nolla". Siirrä kohdistin risteyksen vasemmalle puolelle ja paina [ENTER]. Siirrä kohdistin risteyksen oikealle puolelle ja paina [ENTER]. Siirrä kohdistin mahdollisimman lähelle leikkauspistettä ja paina [ENTER]. Laskin näyttää x-arvon. Tee tämä myös toiselle risteykselle.
4. Syötä saamasi x-arvot kahteen lausekkeeseen. Jos otamme kaksi x-arvoa h ja k terminä käytetty lauseke näyttää tältä:
   
   (x - h) (x - k) = 0
   Joten kahdesta tekijästä tulee sitten:
   
   (x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Vinkkejä

• Jos olet laskenut polynomin abc-kaavan kanssa ja vastauksesi sisältää juuria, voit muuntaa x-arvot murtolukuiksi tarkistamaan ne.
• Jos termillä ei ole kerrointa ennen sitä, kerroin on yhtä suuri kuin 1, esim. X = 1x.
• Jos sinulla on TI-84-laskin, on SOLVER-niminen ohjelma, joka pystyy ratkaisemaan toisen asteen yhtälön puolestasi. Se ratkaisee myös korkeamman asteen polynomit.
• Paljon harjoittelun jälkeen pystyt lopulta ratkaisemaan polynomit sydämestäsi. Mutta olla turvallisella puolella on parempi kirjoittaa ne aina.
• Jos termiä ei ole, kerroin on nolla. Sitten voi olla hyödyllistä kirjoittaa yhtälö uudestaan. Esimerkiksi. x + 6 = x + 0x + 6.

Varoitukset

• Jos opit tätä käsitettä matematiikkatunnilla, kiinnitä huomiota siihen, mitä opettaja selittää, äläkä käytä vain omaa suosikkimenetelmääsi. Sinua saatetaan pyytää käyttämään tiettyä menetelmää testissä, tai laskimien piirtäminen ei ole sallittua.

Tarpeet

• Lyijykynä
• Paperi
• Neliöyhtälö (kutsutaan myös toisen asteen yhtälöksi)
• Graafinen laskin (valinnainen)