Sisältö

• Astua
• Menetelmä 1/3: Korvausmenetelmän käyttö
• Menetelmä 2/3: Eliminaatiomenetelmän käyttö
• Menetelmä 3/3: Piirrä yhtälöt
• Vinkkejä
• Varoitukset

"Yhtälöjärjestelmässä" sinua pyydetään ratkaisemaan kaksi tai useampia yhtälöitä samanaikaisesti. Kun nämä kaksi sisältävät erilaisia ​​muuttujia, kuten x ja y tai a ja b, voi olla ensi silmäyksellä vaikea nähdä, miten ne voidaan ratkaista. Onneksi kun tiedät mitä tehdä, tarvitset vain joitain matematiikan perustaitoja (ja joskus murto-osausta) ongelman ratkaisemiseksi. Tarvittaessa tai jos olet visuaalinen opiskelija, opi myös piirtämään yhtälöt. Kaavion piirtäminen (piirtäminen) voi olla hyödyllistä "nähdäksesi mitä tapahtuu" tai tarkistaa työsi, mutta se voi myös olla hitaampaa kuin muut menetelmät, eikä se toimi kaikissa yhtälöjärjestelmissä.

Astua

Menetelmä 1/3: Korvausmenetelmän käyttö

1. Siirrä muuttujat yhtälön eri puolille. Tämä "korvaus" -menetelmä alkaa "ratkaisemalla x" (tai mikä tahansa muu muuttuja) yhdessä yhtälöistä. Esimerkiksi meillä on seuraavat yhtälöt: 4x + 2y = 8 ja 5x + 3x = 9. Ensinnäkin tarkastelemme ensimmäistä vertailua. Järjestä uudelleen vähentämällä 2y kummaltakin puolelta ja saat: 4x = 8-2y.
   • Tässä menetelmässä käytetään usein jakeita myöhemmässä vaiheessa. Voit myös käyttää alla olevaa eliminointimenetelmää, jos et halua työskennellä murtolukujen kanssa.
2. Jaa yhtälön molemmat puolet ratkaisemaan "x". Kun sinulla on termi x (tai mikä tahansa käyttämäsi muuttuja) yhtälön toisella puolella, jaa yhtälön molemmat puolet muuttujan eristämiseksi. Esimerkiksi:
   • 4x = 8-2y
   • (4x) / 4 = (8/4) - (2v / 4)
   • x = 2 - ½v
3. Liitä tämä takaisin toiseen yhtälöön. Muista palata Muut vertailu, ei sitä, jota olet jo käyttänyt. Tässä yhtälössä korvataan ratkaisemasi muuttuja, jättäen vain yhden muuttujan. Esimerkiksi:
   • Tiedät nyt, että: x = 2 - ½v.
   • Toinen yhtälö, jota et ole vielä muuttanut, on: 5x + 3x = 9.
   • Korvaa toisessa yhtälössä x luvulla "2 - ½y": 5 (2 - ½v) + 3v = 9.
4. Ratkaise jäljellä oleva muuttuja. Sinulla on nyt yhtälö, jossa on vain yksi muuttuja. Käytä yleisiä algebratekniikoita kyseisen muuttujan ratkaisemiseksi. Jos muuttujat peruuttavat toisensa, siirry viimeiseen vaiheeseen. Muussa tapauksessa saat vastauksen johonkin muuttujistasi:
   • 5 (2 - ½v) + 3v = 9
   • 10 - (5/2) y + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Jos et ymmärrä tätä vaihetta, opi lisäämään murtolukuja. Tämä on usein, mutta ei aina, välttämätöntä tällä menetelmällä.)
   • 10 + ½y = 9
   • ½y = -1
   • y = -2
5. Käytä vastausta toisen muuttujan ratkaisemiseen. Älä tee virhettä viimeistelläksesi ongelman puolivälissä. Sinun on syötettävä vastauksesi uudelleen johonkin alkuperäisistä yhtälöistä, jotta voit ratkaista toisen muuttujan:
   • Tiedät nyt, että: y = -2
   • Yksi alkuperäisistä yhtälöistä on: 4x + 2y = 8. (Molempia yhtälöitä voidaan käyttää tässä vaiheessa).
   • Liitä -2 y: n sijaan: 4x + 2 (-2) = 8.
   • 4x - 4 = 8
   • 4x = 12
   • x = 3
6. Tiedä mitä tehdä, jos molemmat muuttujat estävät toisiaan. Kun sinä x = 3y + 2 tai saat samanlaisen vastauksen toiseen yhtälöön, yrität saada yhtälön vain yhdellä muuttujalla. Joskus päätät sen sijaan yhtälön ilman muuttujat. Tarkista vielä kerran työsi ja varmista, että korvaat (uudelleen järjestetyn) ensimmäisen yhtälön toisessa yhtälössä, ei ensimmäisen yhtälön kanssa. Jos olet varma, ettet ole tehnyt virheitä, saat yhden seuraavista tuloksista:
   • Jos päädyt yhtälöön, jossa ei ole muuttujia ja joka ei ole totta (esim. 3 = 5), sinulla on ongelma ei ratkaisua. (Jos olet piirtänyt yhtälöt, näet, että ne ovat yhdensuuntaiset eivätkä koskaan leikkaa).
   • Jos päädyt yhtälöön ilman muuttujia, mutta ne hyvin on totta (esimerkiksi 3 = 3), niin siinä on ongelma ääretön määrä ratkaisuja. Nämä kaksi yhtälöä ovat täsmälleen samat. (Jos piirtää nämä kaksi yhtälöä, näet, että ne ovat päällekkäin).

Menetelmä 2/3: Eliminaatiomenetelmän käyttö

1. Määrittää poistettavan muuttujan. Joskus yhtälöt "eliminoivat" toisensa muuttujassa heti, kun lisäät ne yhteen. Esimerkiksi kun teet yhtälöt 3x + 2y = 11 ja 5x - 2y = 13 yhdistää, "+ 2y" ja "-2y" peruuttavat toisensa, kaikki "y"s poistetaan yhtälöstä. Katso ongelman yhtälöitä selvittääksesi, poistetaanko muuttujat tällä tavalla. Jos mikään muuttuja ei ole eliminoitu, lue neuvoja seuraavaan vaiheeseen.
2. Kerro muuttuja kertomalla yhtälö. (Ohita tämä vaihe, jos muuttujat ovat jo eliminoineet toisensa.) Jos mikään yhtälöiden muuttujista ei peruuta itseään, sinun on muutettava yhtä yhtälöistä niin. Tämä on helpoin ymmärtää esimerkillä:
   • Oletetaan, että sinulla on yhtälöjärjestelmä 3x - y = 3 ja -x + 2y = 4.
   • Muutetaan ensimmäinen yhtälö niin, että muuttuja on y eliminoidaan. (Voit tehdä tämän myös X tehdä ja saada sama vastaus).
   • - y " Ensimmäisen kaavan yhtälö tulisi eliminoida + 2v Toisessa yhtälössä. Voimme tehdä tämän - y kerro 2: lla.
   • Kerrotaan ensimmäisen yhtälön molemmat puolet 2: lla seuraavasti: 2 (3x - y) = 2 (3), ja näin 6x - 2y = 6. Nyt tulee - 2v pudota vastaan + 2v toisessa yhtälössä.
3. Yhdistä nämä kaksi yhtälöä. Voit yhdistää kaksi yhtälöä lisäämällä vasen ja oikea puoli yhteen. Jos olet kirjoittanut yhtälön oikein, toisen muuttujan pitäisi peruuttaa toinen. Tässä on esimerkki, jossa käytetään samoja yhtälöitä kuin viimeisessä vaiheessa:
   • Kaavasi ovat: 6x - 2y = 6 ja -x + 2y = 4.
   • Yhdistä vasen puoli: 6x - 2y - x + 2y =?
   • Yhdistä oikeat puolet: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
4. Ratkaise viimeinen muuttuja. Yksinkertaista yhdistettyä yhtälöä ja ratkaise sitten viimeinen muuttuja perusalgebralla. Jos yksinkertaistamisen jälkeen ei ole jäljellä muuttujia, jatka tämän osan viimeiseen vaiheeseen. Muussa tapauksessa sinun pitäisi lopettaa yksinkertainen vastaus johonkin muuttujasi. Esimerkiksi:
   • Sinulla on: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
   • Ryhmittele muuttujat X ja y toistensa kanssa: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
   • Yksinkertaistaa: 5x = 10
   • Ratkaise x: (5x) / 5 = 10/5, jotta x = 2.
5. Ratkaise muut muuttujat. Olet löytänyt yhden muuttujan, mutta et ole vielä valmis. Korvaa vastauksesi jollakin alkuperäisistä yhtälöistä, jotta voit ratkaista toisen muuttujan. Esimerkiksi:
   • Tiedät sen x = 2ja että yksi alkuperäisistä yhtälöistäsi 3x - y = 3 On.
   • Liitä 2 pistorasiaan x: n sijaan: 3 (2) - y = 3.
   • Ratkaise y yhtälössä: 6 - y = 3
   • 6 - y + y = 3 + y, niin 6 = 3 + y
   • 3 = y
6. Tiedä mitä tehdä, kun molemmat muuttujat peruuttavat toisensa. Joskus kahden yhtälön yhdistäminen johtaa yhtälöön, jolla ei ole merkitystä tai joka ei auta sinua ratkaisemaan ongelmaa. Tarkista työsi alusta alkaen, mutta jos et tehnyt virhettä, kirjoita yksi seuraavista vastauksista:
   • Jos yhdistetyssä yhtälössäsi ei ole muuttujia eikä se ole totta (kuten 2 = 7), niin on ei ratkaisua joka pätee molempiin yhtälöihin. (Jos piirtät molemmat yhtälöt, huomaat, että ne ovat yhdensuuntaiset eivätkä koskaan leikkaa).
   • Jos yhdistetyssä yhtälössäsi ei ole muuttujia ja se on tosi (kuten 0 = 0), niin niitä on ääretön määrä ratkaisuja. Nämä kaksi yhtälöä ovat itse asiassa identtisiä. (Jos sijoitat nämä kaavioon, huomaat, että ne ovat täysin päällekkäisiä).

Menetelmä 3/3: Piirrä yhtälöt

1. Käytä tätä menetelmää vain, kun se on määritelty. Ellet käytä tietokonetta tai graafista laskinta, monet yhtälöjärjestelmät voidaan ratkaista vain tällä menetelmällä. Opettajasi tai matematiikan oppikirjasi saattaa pyytää sinua käyttämään tätä menetelmää, joten olet todennäköisesti perehtynyt graafisiin yhtälöihin, kuten viivoihin. Voit myös käyttää tätä tapaa tarkistaa, ovatko vastauksesi jostakin muusta menetelmästä oikein.
   • Perusajatuksena on, että piirrät molemmat yhtälöt ja määrität pisteen, jossa ne leikkaavat. X- ja y-arvot tässä kohdassa antavat x: n ja y: n arvon yhtälöjärjestelmässä.
2. Ratkaise molemmat yhtälöt y: lle. Pidä nämä kaksi yhtälöä erillään ja muunna kukin yhtälö algebran avulla muotoon "y = __x + __". Esimerkiksi:
   • Ensimmäinen yhtälö on: 2x + y = 5. Vaihda tämä: y = -2x + 5.
   • Toinen yhtälö on: -3x + 6y = 0. Vaihda tämä kohtaan 6y = 3x + 0ja yksinkertaista y = ½x + 0.
   • Ovatko molemmat yhtälöt identtisiä, sitten koko viiva muuttuu "leikkauspisteeksi". Kirjoittaa: äärettömät ratkaisut.
3. Piirrä koordinaatisto. Piirrä pystysuora "y-akseli" ja vaakasuora "x-akseli" kuvaajan paperiarkille. Aloita viivojen leikkauspisteestä ja merkitse numerot 1, 2, 3, 4 jne. Y-akselille ylöspäin ja oikealle taas x-akselia pitkin. Merkitse luvut -1, -2 jne. Pitkin y-akselia alaspäin ja vasemmalle x-akselia pitkin.
   • Jos sinulla ei ole kaaviopaperia, varmista, että numerot ovat tasaisesti viivaimen avulla.
   • Jos käytät suuria lukuja tai desimaaleja, sinun on ehkä skaalattava kaavio. (Esimerkiksi 10, 20, 30 tai 0,1, 0,2, 0,3 sijasta 1, 2, 3).
4. Piirrä y-leikkaus jokaiselle viivalle. Kun sinulla on yhtälö muodossa y = __x + __ voit aloittaa sen piirtämisen asettamalla pisteen, jossa viiva sieppaa y-akselin. Tämä on aina y-arvossa, joka on yhtä suuri kuin tämän yhtälön viimeinen luku.
   • Edellä mainituissa esimerkeissä yksi rivi (y = -2x + 5) y-akseliin 5. Toinen rivi (y = ½x + 0) kulkee nollapisteen läpi 0. (Nämä ovat pisteitä (0,5) ja (0,0) kaaviossa).
   • Määritä kukin viiva eri värillä, jos mahdollista.
5. Käytä kaltevuutta jatkaaksesi viivojen piirtämistä. Muodossa y = __x + __, on x: n numero kaltevuus pois linjasta. Joka kerta, kun x kasvatetaan yhdellä, y-arvo kasvaa kaltevuuden arvon kanssa. Käytä tätä tietoa etsimällä kaavion kohta jokaiselle riville, kun x = 1. (Vaihtoehtoisesti korvaa x = 1 jokaiselle yhtälölle ja ratkaise y: lle).
   • Esimerkissämme linjalla on y = -2x + 5 kaltevuus -2. Kohdassa x = 1 viiva 2 laskeutuu alas pisteestä x = 0. Piirrä viivasegmentti välillä (0.5) - (1.3).
   • Sääntö y = ½x + 0on kaltevuus ½. Kohdassa x = 1 viiva menee ½ ylös pisteestä x = 0. Piirrä viivasegmentti välillä (0,0) - (1, ½).
   • Kun viivojen kaltevuus on sama viivat eivät koskaan leikkaa toisiaan, joten yhtälöjärjestelmälle ei ole ratkaisua. Kirjoittaa: ei ratkaisua.
6. Jatka viivojen piirtämistä, kunnes ne leikkaavat. Pysähdy katsomaan kaaviota. Jos linjat ovat jo ylittäneet toisensa, siirry seuraavaan vaiheeseen. Muussa tapauksessa teet päätöksen sen perusteella, mitä linjat tekevät:
   • Kun viivat liikkuvat toisiaan kohti, piirrät pisteitä siihen suuntaan.
   • Jos viivat liikkuvat toisistaan, palaa takaisin ja piirrä pisteitä toiseen suuntaan alkaen x = -1.
   • Jos viivat eivät ole missään lähellä toisiaan, hyppää eteenpäin ja piirrä kauemmas pisteitä, kuten x = 10.
7. Etsi vastaus viivojen leikkauspisteestä. Kun kaksi viivaa leikkaavat, x- ja y-arvot siinä vaiheessa ovat ratkaisu ongelmaan. Jos olet onnekas, vastaus on kokonaisluku. Esimerkiksi esimerkeissämme nämä kaksi viivaa leikkaavat (2,1) niin on vastauksesi x = 2 ja y = 1. Joissakin yhtälöissä viivat leikkaavat kahden kokonaisluvun välisellä arvolla, ja ellei kaaviosi ole erittäin tarkka, on vaikea kertoa, missä tämä on. Jos näin on, voit antaa vastauksen, kuten: "x on välillä 1 ja 2". Voit käyttää tarkkaa vastausta myös korvausmenetelmällä tai eliminointimenetelmällä.

Vinkkejä

• Voit tarkistaa työsi kirjoittamalla vastaukset takaisin alkuperäisiin yhtälöihin. Jos yhtälöt ovat totta (esimerkiksi 3 = 3), vastauksesi on oikea.
• Eliminointimenetelmässä joudut joskus kertomaan yhtälö negatiivisella luvulla muuttujan eliminoimiseksi.

Varoitukset

• Näitä menetelmiä ei voida käyttää, jos kyseessä on tehonumero, kuten x. Jos haluat lisätietoja tämän tyyppisistä yhtälöistä, tarvitset oppaan kertoimien neliöimiseen kahdella muuttujalla.