Sisältö

• Askeleet
• Osa 1/2: Kulmat radiaaneina
• Osa 2/2: x-y-koordinaatit (kosini, sini)
• Vinkkejä

Yksikköympyrää käytetään paitsi trigonometriassa ja geometriassa myös muilla matematiikan aloilla. Ensi silmäyksellä kaikkien yksittäisten kohtien muistaminen on melko vaikeaa, mutta jos ymmärrät perusperiaatteen, voit käyttää yksikköympyrää helposti.

Askeleet

Osa 1/2: Kulmat radiaaneina

1. 1 Piirrä kaksi kohtisuoraa viivaa. Ota iso paperi ja viivain ja piirrä pystysuorat ja vaakasuorat viivat. Näiden viivojen leikkauspisteen tulisi olla suunnilleen arkin keskellä. Nämä ovat kirveitä x ja y.
2. 2 Piirrä ympyrä. Ota kompassi, aseta sen neula viivojen leikkauspisteeseen ja piirrä suuri ympyrä.
3. 3 Tutustu radiaanin käsitteeseen. Radiaani on kulmien mittayksikkö. Määritelmän mukaan yhden radiaanin kulma katkaistaan ​​yksikön kehältä säde yksikön pituinen kaari. Tässä osassa pisteitä merkitään niitä vastaavilla arvoilla radiaaneina. Jos muistat ympyrän kehän ja sen säteen välisen suhteen, voit helposti määrittää nämä arvot yksikköympyrän varrella, vaikka olisit unohtanut ne.
   • Kun mitataan kulmia yksikköympyrää pitkin, lähtökohtana pidetään aina pistettä koordinaateilla (0; 1). Selvyyden vuoksi voit kuvitella yksikköympyrän tuulen ruusun muodossa, jolloin vertailupiste vastaa itäsuuntaa.
4. 4 Muista, että yksikköympyrän kokonaispituus on 2π. Ympärysmitta on 2πr, missä r - sen säde. Koska yksikköympyrän säde on 1, sen pituus on 2π. Täältä löydät arvon radiaaneina kullekin ympyrän pisteelle: ota vain 2π ja jaa tätä pistettä vastaava ympyrän murto -osa. Tämä on paljon helpompaa kuin yrittää oppia arvot yksikköympyrän jokaisessa kohdassa.
5. 5 Merkitse akseleihin neljä pistettä x ja y. Nämä pisteet jakavat ympyrän neljään neljännekseen (neljännekseen):
   • "itä" on vertailupiste, joten se vastaa 0 radiaanit;
   • "pohjoinen" = ¼ ympyrä = /₄ = /₂ radiaanit;
   • "länsi" = puoliympyrä = /₂ = π radiaanit;
   • "etelä" = kolme neljäsosaa ympyrästä = 2π * ¾ = /₂ radiaanit;
   • kun olemme kulkeneet koko ympyrän, palaamme lähtöpisteeseen, joten 0: n ohella sille voidaan antaa arvo 2π.
6. 6 Jaa ympyrä kahdeksaan osaan. Piirrä suoria viivoja kunkin neljänneksen keskelle niin, että ne puolitetaan. Ympyrän kanssa leikkaavien kohtien leikkauspisteille saadaan seuraavat arvot radiaaneina:
   • /₄;
   • /₄;
   • /₄;
   • /₄;
   • (pisteet π / 2, π, 3π / 2 ja 2π on jo merkitty).
7. 7 Jaa ympyrä kuuteen osaan. Piirrä lisäviivat, jotka jakavat ympyrän kuuteen osaan. Voit käyttää tätä asteikolla: aloita akselin positiivisesta suunnasta x ja aseta sivuun 60 asteen kulmat. Käyttämällä edellä kuvattua menetelmää on helppo määrittää, että ympyrän kuudes osa on /₆ = /₃ radiaanit. Nyt voimme merkitä uusien viivojen leikkauspisteet ympyrällä (yksi kussakin neljänneksessä):
   • /₃;
   • /₃;
   • /₃;
   • /₃;
   • (arvot π ja 2π on jo merkitty).
8. 8 Piirrä viivat, jotka jakavat ympyrän 12 osaan. Jäljellä on yksikköympyrän jakaminen 12 yhtä suureen osaan. Näistä kohdista vain neljää ei aiemmin mainittu:
   • /₆;
   • /₆;
   • /₆;
   • /₆.

Osa 2/2: x-y-koordinaatit (kosini, sini)

1. 1 Tutustu sinin ja kosinin käsitteisiin. Yksikköympyrä sopii erinomaisesti suorakulmaisten kolmioiden kanssa työskentelyyn. Koordinaatit x ympyrässä olevat pisteet ovat cos (θ) ja koordinaatit y vastaavat syntiä (θ), missä θ on kulma.
   • Jos sinun on vaikea muistaa tätä sääntöä, muista vain, että parissa (cos; syn) "sini on viimeisellä paikalla".
   • Tämä sääntö voidaan päätellä, jos tarkastelemme suorakulmaisia ​​kolmioita ja näiden trigonometristen funktioiden määritelmää (kulman sini on yhtä suuri kuin vastakkaisen pituuden suhde ja kosini on hypotenuusan viereinen jalka).
2. 2 Kirjoita ympyrän neljän pisteen koordinaatit muistiin. "Yksikköympyrä" on ympyrä, jonka säde on yhtä kuin yksi. Käytä tätä määrittääksesi koordinaatit x ja y neljässä koordinaattiakselin ja ympyrän leikkauspisteessä. Edellä olemme määritelleet nämä kohdat selvyyden vuoksi "itään", "pohjoiseen", "länteen" ja "etelään", vaikka niillä ei ole vakiintunutta nimeä.
   • "Itä" vastaa pistettä, jolla on koordinaatit (1; 0).
   • "Pohjoinen" vastaa pistettä, jolla on koordinaatit (0; 1).
   • "Länsi" vastaa pistettä, jolla on koordinaatit (-1; 0).
   • "Etelä" vastaa pistettä, jolla on koordinaatit (0; -1).
   • Tämä on sama kuin tavallinen kaavio, joten näitä arvoja ei tarvitse muistaa, muista vain perusperiaate.
3. 3 Muista ensimmäisen neljänneksen pisteiden koordinaatit. Ensimmäinen neljännes sijaitsee ympyrän oikeassa yläkulmassa, missä koordinaatit ovat x ja y ottaa positiivisia arvoja. Nämä ovat ainoat koordinaatit, jotka sinun on muistettava:
   • piste /₆ on koordinaatit (${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$);
   • piste /₄ on koordinaatit (${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$);
   • piste /₃ on koordinaatit (${ displaystyle { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$);
   • Huomaa, että osoitin hyväksyy vain kolme arvoa. Jos liikut positiiviseen suuntaan (vasemmalta oikealle akselia pitkin x ja alhaalta ylöspäin akselia pitkin y), lukija ottaa arvot 1 → √2 → √3.
4. 4 Piirrä suorat ja määritä niiden leikkauspisteiden koordinaatit ympyrän kanssa. Jos piirrät suoria vaaka- ja pystysuoria viivoja yhden neljänneksen pisteistä, näiden viivojen ja ympyrän leikkauspisteiden toisilla leikkauspisteillä on koordinaatit x ja y joilla on samat absoluuttiset arvot, mutta eri merkit. Toisin sanoen voit piirtää vaaka- ja pystysuorat viivat ensimmäisen neljänneksen pisteistä ja merkitä leikkauspisteet ympyrän kanssa samoilla koordinaateilla, mutta samalla jättää tilaa oikealle merkille ("+" tai "-" ") vasemmalla.
   • Voit esimerkiksi piirtää vaakasuoran viivan pisteiden väliin /₃ ja /₃... Koska ensimmäisellä pisteellä on koordinaatit (${ displaystyle { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$), toisen pisteen koordinaatit ovat (?${ displaystyle { frac {1} {2}} ,? { frac { sqrt {3}} {2}}}$), jossa "+"-tai "-" -merkin sijasta on kysymysmerkki.
   • Käytä yksinkertaisinta menetelmää: merkitse pistekoordinaattien nimittäjät radiaaneina. Kaikilla pisteillä, joilla on nimittäjä 3, on samat absoluuttiset koordinaattiarvot. Sama koskee pisteitä, joilla on nimittäjät 4 ja 6.
5. 5 Käytä symmetrisääntöjä koordinaattien merkin määrittämiseen. On useita tapoja määrittää "-" -merkin paikka:
   • muista tavallisten kaavioiden perussäännöt. Akseli x negatiivinen vasemmalla ja positiivinen oikealla. Akseli y negatiivinen alhaalla ja positiivinen yllä;
   • aloita ensimmäisestä neljänneksestä ja piirrä viivat muihin pisteisiin. Jos viiva ylittää akselin y, koordinoi x muuttaa merkkiä. Jos viiva ylittää akselin x, koordinaatin merkki muuttuu y;
   • muista, että ensimmäisessä neljänneksessä kaikki funktiot ovat positiivisia, toisessa neljänneksessä vain sini on positiivinen, kolmannessa neljänneksessä vain tangentti on positiivinen ja neljännessä neljänneksessä vain kosini on positiivinen;
   • kumman menetelmän tahansa käytätkin, ensimmäisen neljänneksen tulisi olla ( +, +), toisen ( -, +), kolmannen ( -, -) ja neljännen ( +, -).
6. 6 Tarkista, oletko väärässä. Alla on täydellinen luettelo "erikoispisteiden" koordinaateista (lukuun ottamatta neljää pistettä koordinaattiakseleilla), jos liikut yksikköympyrää pitkin vastapäivään. Muista, että kaikkien näiden arvojen määrittämiseksi riittää muistaa pisteiden koordinaatit vain ensimmäisellä neljänneksellä:
   • ensimmäinen neljännes :(${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$); (${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$);
   • toinen neljännes: (${ displaystyle - { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$);
   • kolmas neljännes: (${ displaystyle - { frac { sqrt {3}} {2}}, - { frac {1} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac { sqrt {2}} {2}}, - { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac {1} {2}}, - { frac { sqrt {3}} {2}}}$);
   • neljäs neljännes: (${ displaystyle { frac {1} {2}}, - { frac { sqrt {3}} {2}}}$); (${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, - { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, - { frac {1} {2}}}$).

Vinkkejä

• Jos haluat käyttää yksikköympyrää kokeeseen tai tenttiin, piirrä se luonnokseen.
• Harjoittelemalla sinun pitäisi pystyä piirtämään nopeasti yksikköympyrä. Ajan myötä voit piirtää vain kirveitä x ja y tai jopa tehdä ilman kaaviota.