Laske odotusarvo

Sisältö

Astua
Menetelmä 1/3: Ensimmäinen yksinkertainen tehtävä
Menetelmä 2/3: Lasketaan tietyn tuloksen odotettu arvo
Menetelmä 3/3: Ymmärrä käsite
Vinkkejä
Tarpeet

Odotusarvo on tilastollinen termi ja käsite, jota käytetään päättämään, kuinka hyödyllinen tai haitallinen toiminta on. Odotetun arvon laskemiseksi on välttämätöntä saada hyvä käsitys kustakin lopputuloksesta tietyssä tilanteessa ja siihen liittyvästä todennäköisyydestä tai todennäköisyydestä, että tietty tulos tapahtuu. Seuraavissa vaiheissa on esimerkkiharjoituksia, joiden avulla voit ymmärtää odotusarvon käsitteen.

Astua

Menetelmä 1/3: Ensimmäinen yksinkertainen tehtävä

Lue lausunto. Ennen kuin alat miettiä kaikkia mahdollisia tuloksia ja todennäköisyyksiä, on tärkeää, että ymmärrät ongelman. Esimerkiksi noppapeli, joka maksaa 10 € / peli. Kuusikulma rullataan kerran ja voittosi riippuvat heittämästäsi numerosta. Jos 6 heitetään, voitat 30 €; 5 ansaitsee 20 €; mikään muu numero ei tuota mitään.
Luettele kaikki mahdolliset tulokset. Se auttaa luetteloimaan kaikki mahdolliset tulokset tietyssä tilanteessa. Yllä olevassa esimerkissä on 6 mahdollista tulosta. Nämä ovat: (1) heitä 1 ja menetät 10 dollaria, (2) heität 2 ja menetät 10 dollaria, (3) heität 3 ja menetät 10 dollaria, (4) heität 4 ja menetät 10 dollaria , (5) heitä 5 ja voita 10 dollaria, (6) heitä 6 ja voita 20 dollaria.
- Huomaa, että jokainen tulos on 10 € vähemmän kuin yllä on kuvattu, koska sinun on ensin maksettava 10 € peliä kohden lopputuloksesta riippumatta.
Määritä kunkin tuloksen todennäköisyys. Tässä tapauksessa minkä tahansa kuuden lopputuloksen todennäköisyys on sama. Satunnaisluvun vieritystodennäköisyys on 1: 6. Tämän helpottamiseksi kirjoitetaan murtoluku (1/6) desimaalina laskimen avulla: 0,167. Kirjoita tämä todennäköisyys kunkin tuloksen viereen, varsinkin jos haluat ratkaista ongelman eri todennäköisyydellä kullekin lopputulokselle.
- 1/6-laskimestasi saattaa tulla jotain 0,166667. Pyöristämme tämän arvoon 0,167, jotta laskeminen on helpompaa tinkimättä tarkkuudesta.
- Jos haluat erittäin tarkan tuloksen, älä tee siitä desimaalia, kirjoita vain 1/6 kaavaan ja laske se laskimellasi.
Kirjaa kunkin tuloksen arvo. Kerro tuloksen $ todennäköisyydellä, että tulos syntyy laskeaksesi kuinka paljon rahaa tämä tulos vaikuttaa odotettuun arvoon. Esimerkiksi 1: n vierittämisen tulos on - 10 dollaria ja todennäköisyys 1: n vierittämiseen on 0,167. A-heiton arvo on siis (-10) * (0,167).
- Näitä tuloksia ei tarvitse laskea nyt, jos sinulla on laskin, joka voi suorittaa useita toimintoja samanaikaisesti. Saat tarkemman tuloksen, jos syötät koko yhtälön.
Lisää kunkin tuloksen arvo saadaksesi tapahtuman odotettu arvo. Jatkamalla yllä olevaa esimerkkiä, noppapelin odotusarvo on: (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (10 * 0,167) + (20 * 0,167) tai - 1,67 €. Joten voit odottaa menettävän 1,67 dollaria joka kerta tässä pelissä (per peli).
Mitkä ovat odotetun arvon laskemisen vaikutukset. Yllä olevassa esimerkissä määritimme, että odotettu voitto (tappio) olisi - 1,67 € / heitto. Tämä on mahdoton tulos yhdelle pelille; voit menettää 10 €, voittaa 10 € tai 20 €. Mutta pitkällä aikavälillä odotettu arvo on hyödyllinen, keskimääräinen todennäköisyys. Jos jatkat tämän pelin pelaamista, menetät keskimäärin noin 1,67 dollaria per peli. Toinen tapa ajatella odotettua arvoa on osoittaa pelille tietyt kustannukset (tai edut); sinun pitäisi pelata tätä peliä vain, jos löydät sen sen arvoista, nauti siitä tarpeeksi, jotta voit käyttää siihen 1,67 dollaria joka kerta.
- Mitä useammin tilanne toistuu, sitä tarkemmin odotettu arvo kuvaa todellista, keskimääräistä tulosta. Esimerkiksi, ehkä pelaat peliä viisi kertaa peräkkäin ja häviät joka kerta, jolloin menetät keskimäärin 10 dollaria. Jos kuitenkin pelaat peliä vielä 1000 kertaa, keskimääräinen tulos tulee lähemmäksi odotettua arvoa - 1,67 € / peli. Tätä periaatetta kutsutaan "suurten lukujen laiksi".

Menetelmä 2/3: Lasketaan tietyn tuloksen odotettu arvo

Käytä tätä menetelmää laskeaksesi keskimääräisen kolikoiden määrän, joka sinun täytyy kääntää ennen tietyn mallin esiintymistä. Voit esimerkiksi käyttää menetelmää selvittääksesi käännettävien kolikoiden odotetun määrän, kunnes sinulla on päätä kahdesti peräkkäin. Tämä ongelma on hieman hankalampi kuin tavanomainen odotusarvojen ongelma, joten lue ensin tämän artikkelin yllä oleva osa, jos et tunne odotusarvon käsitettä.
Oletetaan, että etsimme arvoa x. Yrität selvittää, kuinka monta kolikkoa sinun on keskimäärin käännettävä saadaksesi kaksi päätä peräkkäin. Teemme nyt vertailun vastauksen löytämiseksi. Kutsumme etsimääsi vastausta x: ksi. Teemme tarvittavan vertailun askel askeleelta. Meillä on tällä hetkellä seuraavat:
- x = ___
Ajattele, mitä tapahtuu, jos ensimmäinen läppä tuottaa kolikon. Näin on puolessa tapauksista. Jos näin on, olet "hukkaan" kaatumisen, kun taas mahdollisuus pyörittää päätä kahdesti peräkkäin ei ole muuttunut. Kuten kolikonheiton kohdalla, oletetaan, että sinun on heitettävä keskimäärin useita kertoja, ennen kuin saat pään kahdesti peräkkäin. Toisin sanoen, sinun pitäisi odottaa pyörivän x kertaa, plus ne, jotka olet jo pelannut. Yhtälön muodossa:
- x = (0,5) (x + 1) + ___
- Aiomme täyttää tyhjän tilan, kun ajattelemme edelleen muita tilanteita.
- Voit käyttää murtolukuja desimaalien sijasta, jos se on helpompaa tai tarpeen.
Ajattele mitä tapahtuu, kun heität pään. On 0,5 (tai 1/2) mahdollisuus, että heität kupin ensimmäistä kertaa. Tämä näyttää lähestyvän tavoitetta heittää pää kaksi kertaa peräkkäin, mutta kuinka paljon? Helpoin tapa saada selville on miettiä vaihtoehtojasi toisella rullalla:
- Jos toinen heitto on kolikko, olemme palanneet alkuun.
- Jos toinen kerta on myös kuppi, niin olemme valmiit!
Opi laskemaan todennäköisyys, että molemmat tapahtumat tapahtuvat. Tiedämme nyt, että sinulla on 50% mahdollisuus heittää kuppi, mutta mikä on mahdollisuus, että heität kupin kahdesti peräkkäin? Laske tämä todennäköisyys kertomalla molempien todennäköisyys. Tässä tapauksessa se on 0,5 x 0,5 = 0,25. Tietysti tämä on myös mahdollisuus, että rullat päät ja sitten hännät, koska molemmilla on mahdollisuus esiintyä 0,5: 0,5 x 0,5 = 0,25.
Lisää tulos "päät, sitten hännät" yhtälöön. Nyt kun olemme laskeneet tämän tapahtuman todennäköisyyden, voimme siirtyä yhtälön laajentamiseen. On 0,25 (tai 1/4) mahdollisuus, että tuhlaamme heiton kahdesti siirtymättä eteenpäin. Mutta nyt tarvitsemme vielä keskimäärin x enemmän heittoja saadaksemme haluamasi tuloksen, plus kaksi jo heitettyä. Yhtälömuodossa tästä tulee (0,25) (x + 2), jonka voimme nyt lisätä yhtälöön:
- x = (0,5) (x + 1) + (0,25) (x + 2) + ___
Lisää tulos otsikkoon, otsikkoon yhtälöön. Jos heität päätä, pää kolikoiden kahden ensimmäisen heiton kanssa, olet valmis. Sait tuloksen tarkalleen 2 heitolla. Kuten aiemmin totesimme, on 0,25 mahdollisuus tähän, joten yhtälö tälle on (0,25) (2). Vertailumme on nyt valmis:
- x = (0,5) (x + 1) + (0,25) (x + 2) + (0,25) (2)
- Jos et ole varma, oletko ajatellut kaikkia mahdollisia tilanteita, on helppo tapa tarkistaa, että yhtälö on täydellinen. Yhtälön kunkin osan ensimmäinen numero edustaa tapahtuman todennäköisyyttä. Tämä lisää aina yhteen. Tässä 0,5 + 0,25 + 0,25 = 1, joten tiedämme, että olemme sisällyttäneet kaikki tilanteet.
Yksinkertaista yhtälöä. Tehdään yhtälöä hieman helpommaksi kertomalla. Muista, että jos näet jotain sulkeissa näin: (0.5) (x + 1), niin kerrot 0,5 jokaisella termillä, joka on toisessa suluissa. Tämä antaa sinulle seuraavat: 0,5x + (0,5) (1) tai 0,5x + 0,5. Tehdään tämä jokaiselle yhtälön termille, yhdistetään sitten nämä termit niin, että kaikki näyttää hieman yksinkertaisemmalta:
- x = 0,5x + (0,5) (1) + 0,25x + (0,25) (2) + (0,25) (2)
- x = 0,5x + 0,5 + 0,25x + 0,5 + 0,5
- x = 0,75x + 1,5
Ratkaise x. Kuten missä tahansa yhtälössä, sinun on eristettävä x yhtälön toisella puolella sen laskemiseksi. Muista, että x tarkoittaa "keskimääräistä kolikoiden määrää, jonka sinun täytyy heittää saadaksesi päät kahdesti peräkkäin". Kun olemme laskeneet x: n, olemme löytäneet vastauksemme.
- x = 0,75x + 1,5
- x - 0,75x = 0,75x + 1,5 - 0,75x
- 0,25x = 1,5
- (0,25x) / (0,25) = (1,5) / (0,25)
- x = 6
- Keskimäärin sinun täytyy heittää kolikko 6 kertaa, ennen kuin heität päätä kahdesti.

Menetelmä 3/3: Ymmärrä käsite

Mikä on odotettu arvo todellisuudessa. Odotusarvo ei välttämättä ole ilmeisin tai loogisin tulos. Joskus odotusarvo voi olla jopa mahdoton arvo tietyssä tilanteessa. Esimerkiksi odotusarvo voi olla +5 € pelistä, jonka palkinto on enintään 10 €. Odotusarvo osoittaa, kuinka suuri arvo tietyllä tapahtumalla on. Jos pelin odotettu arvo on +5 €, voit pelata sitä, jos sinusta tuntuu, että se on sen pelin aikana hankittavan ajan ja rahan arvoinen. Jos toisen pelin odotettu arvo on - 20 dollaria, pelaat sitä vain, jos luulet jokaisen pelin olevan 20 dollarin arvoinen.
Ymmärrä itsenäisten tapahtumien käsite. Jokapäiväisessä elämässä monet meistä ajattelevat, että meillä on onnekas päivä, kun tapahtuu hyviä asioita, ja odotamme loppupäivän menevän siihen suuntaan.Samalla tavalla voimme ajatella, että meillä on ollut tarpeeksi onnettomuutta ja että jotain hauskaa on todella tehtävä nyt. Matemaattisesti asiat eivät mene niin. Jos heität tavallisen kolikon, on täsmälleen sama mahdollisuus, että heität pään tai kolikon. Ei ole väliä kuinka monta kertaa olet jo heittänyt; kun seuraavan kerran heität, se toimii edelleen samalla tavalla. Kolikonheitto on "riippumaton" muista heitoista, se ei vaikuta siihen.
- Usko siihen, että voit olla onnekas tai epäonninen heittäessäsi kolikoita (tai muuta onnenpeliä), tai Sitä, että kaikki epäonnesi on nyt päättynyt ja onni on sinun puolellasi, kutsutaan myös pelaajan huijaamiseksi (tai pelaajan harhaksi). Tämä liittyy ihmisten taipumukseen tehdä riskialttiita tai typeriä päätöksiä, kun he kokevat, että onni on heidän puolellaan, tai jos he tuntevat "onnekas juova" tai jos he tuntevat "onnensa on kääntymässä" ".
Ymmärrä suurten lukujen laki. Saatat ajatella, että odotusarvo ei ole todella hyödyllinen, koska se kertoo vain harvoin tilanteen todellisen lopputuloksen. Jos olet laskenut, että rulettipelin odotettu arvo on - 1 € ja pelaat peliä kolme kertaa, saat yleensä - 10 € tai + 60 € tai jonkin muun tuloksen. "Suurten lukujen laki" auttaa selittämään, miksi odotusarvo on hyödyllisempi kuin luulisi: mitä enemmän pelaat, sitä lähempänä odotusarvoa keskimääräinen tulos on. Kun tarkastelet suurta määrää tapahtumia, on hyvät mahdollisuudet, että lopputulos on lähellä odotettua arvoa.

Vinkkejä

Niissä tilanteissa, joissa useita tuloksia on mahdollista, voit luoda tietokoneelle laskentataulukon laskemaan odotettu arvo tulosten ja niiden todennäköisyyksien avulla.
Yllä olevat €-laskelmat toimivat myös muissa valuutoissa.